19.3.1 矩形-2020-2021学年八年级下册初二数学【黄冈100分闯关】沪科版（教用）

１９．３　矩形、菱形、正方形 １９．３．１　矩形 第１课时　矩形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点１　矩形内角的性质 １．如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则 图中∠１＋∠２的度数为 (　C　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° 第１题图 　　　 第２题图 ２．将矩形ABCD 沿AE 折叠,得到如图所示的图形,若 ∠CED′＝５６°,则∠EAD 的大小是　２８°　． ３．如图,已知四边形ABCD 和四边形EFGC 为全等的矩 形,B,C,E 在同一条直线上,试判断△ACF 的形状． 解:△ACF 是等腰直角三角形 知识点２　矩形对角线的性质 ４．如图,若矩形ABCD 的对角线AC＝５,则 (　D　) A．AB＝５ B．BC＝５ C．CD＝５ D．BD＝５ 第４题图 　　　 第５题图 ５．(２０１７􀅰怀化)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点O,∠AOB＝６０°,AC＝６cm,则AB 的 长是 (　A　) A．３cm B．６cm C．１０cm D．１２cm ６．如图,矩形 ABCD 的对角线交于点O,若∠ACB＝ ３０°,AB＝２,则OC 的长为 (　A　) A．２ B．３ C．２３ D．４ 第６题图 　　　 第７题图 ７．如图,已知矩形 ABCD 的面积为２０２０,EF 过矩形 ABCD 对角线的交点O,且分别交AB,CD 于点E, F,则阴影部分的面积是　５０５　． ８．如图,矩形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,若∠DBC＝３５°,则∠CAB 的度数是　５５°　． ９．如图,在矩形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,BE⊥ AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F．求证:BE＝CF． 证 明: ∵ 四 边 形 ABCD 为 矩 形, ∴AC＝BD,∴BO＝CO．∵BE⊥AC 于 点 E, CF ⊥ BD 于 点 F, ∴∠BEO＝∠CFO＝９０°．在 △BOE 和△COF 中, ∠BEO＝∠CFO, ∠EOB＝∠FOC, OB＝OC, ì î í ïï ïï ∴ △BOE ≌ △COF (AAS),∴BE＝CF 知识点３　直角三角形斜边上的中线的性质 １０．如图,公路AC,BC 互相垂直,公 路AB 的中点 M 与点C 被湖隔 开．若测得AM 的长为１．２km,则 M,C 两点间的距离为 (　D　) A．０．５km B．０．６km C．０．９km D．１．２km １１．如图,在△ABC 中,BD⊥AC 于点D,点E 为AB 的 中点,AD＝６,DE＝５,则线段BD 的长等于　８　． 第１１题图 　　　 第１２题图 １２．如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是 AD 的中点,若AB＝５,AD＝１２,则四边形ABOM 的周长为　２０　． ５６ １３．如图,在矩形ABCD 中,M,N 分别 是边AD,BC 的中点,E,F 分别是 线段BM,CM 的中点．若 AB＝８, AD＝１２,则四边形ENFM 的周长 为　２０　． １４．如图所示,△ABC 和△DBC 都是直角三角形,BC 是它们的斜边,P 是BC 的中点,连接AD,作PQ⊥ AD 于点Q．求证:PQ 平分AD． 证 明: 连 接 AP, DP．在 Rt△ABC中,P 为斜边BC 的 中点,则AP＝ １ ２BC． 同理,在 Rt△DBC 中,DP＝ １ ２BC ,∴AP＝DP,∴△PAD 是 等腰三角形,∵在△PAD 中,PQ⊥AD,∴PQ 平分 AD(等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合) １５．如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是BC 边上一 点, AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F．求证:DF＝DC． 证 明: 连 接 DE．∵ AD ＝ AE, ∴∠AED＝∠ADE．∵在矩形 ABＧ CD 中,AD ∥ BC, ∴ ∠ADE ＝ ∠DEC,∴∠DEC＝ ∠AED．又 ∵ DF ⊥ AE, ∴ ∠DFE ＝ ∠C ＝９０°．在 △DFE 和 △DCE 中, ∠DEF＝∠DEC, ∠DFE＝∠C, DE＝DE, ì î í ï ï ïï ∴ △DFE ≌ △DCE (AAS), ∴DF＝DC １６．如图,E,F 分别是矩形ABCD 的边AD,AB 上的 点,若EF＝EC,且EF⊥EC． (１)求证:AE＝DC; (２)已知DC＝ ２,求BE 的长． 解:(１)证明:∵在矩形ABCD 中, ∠A ＝ ∠D ＝９０°, ∴ ∠AFE ＋ ∠AEF ＝９０°．∵ EF ⊥ EC, ∴ ∠FEC ＝ ９０°, ∴ ∠FEA ＋ ∠DEC＝９０°, ∴ ∠AFE ＝ ∠DEC．在 △AEF ≌ △DCE 中, ∠A＝∠D, ∠AFE＝∠DEC, EF＝EC, ì î í ï ï ï