专题(一 ) 勾股定理与特殊角-【黄冈金牌之路】2020-2021学年湘教版八年级下册初二数学·练闯考（教用）

专题(一)　勾股定理与特殊角 类型一:直接运用３０°或４５°锐角的直角三角形求解 １．如图,在△ABC 中,∠ACB＝９０°,CD⊥AB 于点D, ∠A＝３０°,CD＝２,求AB 的长． 解:∵CD⊥AB,∠A＝３０°,∴ AC ＝ ２CD ＝ ４, AD＝ AC２－CD２ ＝ ４２－２２ ＝ ２３,∵ ∠ACB＝９０°, ∠A＝ ３０°,∴∠B ＝６０°, ∠BCD＝３０°,BC＝２BD, 在 Rt △BCD 中,CD２＋BD２＝BC２,∴２２＋BD２＝(２BD)２, ∴BD＝ ２ ３３ ,∴AB＝AD＋BD＝ ８ ３３ ２．如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点D,∠B＝６０°, ∠C＝４５°,AC＝２,求BD 的长． 解: ∵AD ⊥BC, ∠C ＝４５°, ∠B ＝６０°, ∴ ∠DAC ＝４５°, ∠BAD ＝３０°, ∴AD ＝CD, AB＝２BD, 在 Rt△ADC 中, AD２＋CD２ ＝AC２ ＝２２, ∴AD ＝CD ＝ ２, 在 Rt△ABD 中,AB２ ＝AD２ ＋BD２, 即 (２BD )２ ＝ ( ２)２＋BD２,∴BD＝ ６ ３ 类型二:作垂线构造含３０°或４５°锐角的直角三角形 求解 ３．如图,在△ABC 中,∠B＝４５°,∠A＝１０５°,AC＝１, 求BC 的长． 解:过点A 作AD⊥BC 于 点D,∵∠B＝４５°,∠A＝ １０５°, ∴ ∠C ＝ ３０°, ∠BAD＝４５°, ∴ AD ＝ １ ２AC＝ １ ２ ,BD ＝AD ＝ １ ２ ,在 Rt△ADC 中,CD ＝ AC２－AD２ ＝ ３ ２ , ∴ BC＝BD＋CD＝ １ ２＋ ３ ２ ４．如图,在△ABC 中,∠ACB＝７５°,∠B＝６０°,BC＝ ２３,求S△ABC． 解:过点C 作CD⊥AB 于点 D,∵∠ACB＝７５°,∠B＝６０°, ∴ ∠ACD ＝４５°, ∠BCD ＝ ３０°, ∴BD ＝ １ ２BC ＝ ３ , CD＝ BC２－BD２ ＝３,AD＝CD＝３,∴AB＝AD＋ BD＝３＋ ３,∴S△ABC ＝ １ ２CD 􀅰AB＝ １ ２×３× (３＋ ３)＝ ９ ２＋ ３３ ２ ５．如图,在四边形ABCD 中,∠A＝∠C＝４５°,∠ADB ＝∠ABC＝１０５°．若AB＋CD＝２３＋２,求AB．(提 示:作DE⊥AB 于点E,BF⊥CD 于点F) 解: 过点 D 作 DE⊥AB 于 E,过点B 作BF⊥CD 于F, ∵∠A＝∠C＝４５°,∠ADB＝ ∠ABC ＝ １０５°, ∴ ∠A ＝ ∠ADE＝４５°, ∠DBE＝３０°, ∠C＝∠CBF＝４５°,∠DBF＝３０°,设AE＝x,则DE＝ x,DB＝２DE＝２x,BE＝ DB２－DE２ ＝ ３x,DF＝ １ ２BD＝x ,BF＝ DB２－DF２ ＝ ３x,CF＝BF＝ ３x, ∴AB＋CD＝AE＋BE＋DF＋CF＝x＋ ３x＋x＋ ３x＝２３＋２,∴x＝１,∴AB＝１＋ ３ 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰２１􀅰 　　　　　　　八年级数学（下）（配湘教地区使用） $