专题(二 ) 勾股定理与数学思想方法-【黄冈金牌之路】2020-2021学年湘教版八年级下册初二数学·练闯考（教用）

专题(二)　勾股定理与数学思想方法 类型一:数形结合及转化思想 １．如 图,A,B 两 个 村 在 河 CD 的 同 侧,且 AB ＝ １３km,A,B 两村到河的距离分别为AC＝１km, BD＝３km,现要在河边CD 上建一水厂分别向A, B 两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米需 ３０００元,请你在河岸CD 上选择水厂位置O,使铺设 水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W(元)． 解:作点A 关于CD 的对称点A′,连接 BA′交CD 于O,则点O 即为水厂的位 置,过点A′作A′E∥CD 交BD 的延长 线于点E,过点A 作AF⊥BD 于点F, BF＝BD－FD＝３－１＝２(km),在 Rt△ABF 中, AF２＋BF２＝AB２,∴AF２ ＝１３－２２ ＝９,即 AF＝ ３km,∴A′E＝AF＝３km,在 Rt△A′BE 中,BE＝ BD＋DE＝４km,A′B２＝A′E２＋BE２,即 A′B２＝ ３２＋４２＝５２,∴A′B＝５km,∴W＝３０００×５＝１５０００ (元)．故铺设水管的总费用为１５０００元 ２．如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好 从A 点绕到正上方的B 点,已知易拉罐底 面周长是１２cm,高是５cm,那么所需彩带 最短是多少? 解:由图可知,彩带从易拉罐底端的 A 处绕易拉罐３圈后到达顶端的B 处,将易拉罐表面切开展开呈长方 形,则螺旋线长为４个AJ 的长,在 Rt△ADJ中,AD＝１２cm,DJ＝ １ ４AB＝ ５ ４cm ,∴AJ＝ １２２＋( ５ ４ )２ ＝ ２３２９ １６ ＝ １ ４ ２３２９ (cm), ４AJ＝ ２３２９cm,所以彩带最短是 ２３２９cm 类型二:分类讨论思想 ３．已知 m,n,d 为一个直角三角形的三边长,且有 m－５＝８n－n２－１６,求这个三角形的周长和面积． 解:∵ m－５＝８n－n２－１６,∴ m－５＋(n２－８n＋ １６)＝０, m－５＋(n－４)２＝０,∴m＝５,n＝４,①若 m 为直角边,则d＝ m２＋n２ ＝ ４１,周长:５＋４＋ ４１＝９＋ ４１,面积: １ ２×５×４＝１０ ;②若 m 为斜 边,则d＝ m２－n２ ＝３,周长:５＋４＋３＝１２,面积: １ ２×４×３＝６ ４．在△ABC 中,AB＝２ ２,BC＝１,∠ABC＝４５°,以 AB 为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD ＝ ９０°,连接CD,求线段CD 的长． 解:①如图①,点A,D 在 BC 的 两 侧, ∵ △ABD 是等腰直角三 角形,∴AD＝ ２AB＝ ２ × ２２ ＝ ４, ∵ ∠ABC＝４５°,∴BE＝DE＝ １ ２AD＝ １ ２×４＝２ ,BE⊥ AD,∵BC＝１, ∴CE ＝BE －BC＝２－１＝１, 在 Rt△CDE中,CD＝ CE２＋DE２ ＝ １２＋２２ ＝ ５;② 如图２,点A,D 在BC 的同侧,∵△ABD 是等腰直角 三角形,∴BD＝AB＝２ ２,过点 D 作DE⊥BC 交 BC 的反向延长线于E,则△BDE 是等腰直角三角 形,∴DE＝BE＝２ ２× ２ ２ ＝２ ,∵BC＝１,∴CE＝ BE＋BC ＝２＋１＝３, 在 Rt△CDE 中,CD ＝ CE２＋DE２ ＝ ３２＋２２ ＝ １３,综上所述,线段CD 的长为 ５或 １３ 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀤨 􀅰３１􀅰 第一章　　　　　　　 $