1.1.2 弧度制（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

 

1.1.2　弧度制

知识自主预习

新知初探

知识点1. 角的单位制

【思考】角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？

【答案】1度的角等于周角的.

(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

(2)弧度制：把长度等于___半径长_____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作____1 rad ____．

(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____|α|＝________；这里α的正负由角α的_____终边的旋转方向___________决定．正角的弧度数是一个___正数_____，负角的弧度数是一个____负数____，零角的弧度数是___0_____．

 

知识点2.角度与弧度的互化

(1)180°＝π rad.；π rad＝°；1°＝ rad.

(2)常用的角度数与弧度数的互化：

 

知识点3.扇形的弧长及面积公式

【思考】1.初中阶段学过的弧长公式及面积公式有哪些?

【答案】l＝,S=(其中n表示圆心角为n0,r为圆的半径).

2.根据||=公式,你能推导出弧度制下的扇形弧长公式及面积公式吗?

【答案】,S=.

设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则

 

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1弧度＝1°.(　　)

(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　)

(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．(　　)

【答案】(1)×　(2)√　(3)×

2．半径为1，圆心角为的扇形的弧长是(　　)

A.             B．π            C.                D.

【解析】弧长l=rα=.

【答案】C

4．(1)＝________；(2)－210°＝________.

【答案】(1)120°　(2)－

5．半径为12 cm，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与角α终边相同的角的集合为______________．

【解析】∵圆心角α＝＝，

∴与α终边相同的角的集合为{α|α＝＋2kπ，k∈Z}．

【答案】{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1弧度的概念

【例1】下列说法中错误的是（  ）

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．10的角是周角的，1rad的角是周角的

C．1rad的角比10的角要大

D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

【解析】不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关，所以答案D错误。

【答案】D

【方法总结】 弧度与角度的概念的区别与联系

区别	（1）定义不同. （2）单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位.
联 系	(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值. (2)弧度与角度可以互相转化.

 

【变式训练1】在半径不等的圆中，半径长的弦所对的圆心角（  ）

A．为1弧度

B．各不相等，半径长则圆心角大

C．各不相等，半径长则圆心角小

D．都相等，为弧度

【解析】由两半径及弦构成一个等边三角形，所以所对圆心角600，即弧度.

【答案】D

题型2角度与弧度的换算

【例2】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：

(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－.

【解】　(1)72°＝72×＝；

(2)－300°＝－300×＝－；

(3)2＝2×°＝°；

(4)－＝－°＝－40°.