1.1.1 任意角（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

第一章 三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1　任　意　角

知识自主预习

新知初探

知识点1.角的概念

【思考】你能说出角的三要素吗？

【答案】角的三要素是顶点、终边、始边．

 

 

知识点2.角的分类

【思考】你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？

【答案】当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．

 

1.

2.按角的终边位置

(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；

(2)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．

知识点3.终边相同的角

【思考】当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

【答案】不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)－60°是第四象限角．(　　)

(2)锐角是第一象限的角．(　　)

(3)终边相同的角一定相等．(　　)

【答案】(1)√　(2)√　(3)×

2．与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)

A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}

C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}

D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}

【解析】由－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，可知选项C正确．

【答案】C

2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　)

A．120°＋k·360°，k∈Z

B．120°＋k·180°，k∈Z

C．240°＋k·360°，k∈Z

D．240°＋k·180°，k∈Z

【解析】角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.

【答案】B

4．在平面直角坐标系中，－1445°是（　　）

A. 第一象限角                    B. 第二象限角

C. 第三象限角                    D. 第四象限角

【解析】－1 445°＝－1 800°＋355°，－1 445°与355°终边相同，是第四象限角．

【答案】D

5．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．

【答案】－25°　395°

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1任意角的概念

【例1】下列命题正确的是(　　)

A．终边与始边重合的角是零角

B．终边和始边都相同的两个角一定相等

C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

D．小于90°的角是锐角

【解析】终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．

【答案】C

【方法总结】理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．　　　

【变式训练1】 写出下列说法所表示的角：

（1）顺时针拧螺丝2圈；

（2）将时钟拨慢2时30分，分针转过的角；

（3）向右转体3周.

【解析】（1）顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.

（2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，2时30分是2周半.因此将时钟拨慢2 时30 分，分针转过的角为900°.

（3）向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周表示的角为－1080°.

 

题型2. 终边相同角的表示

【例2】在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角．