18.2.3 正方形-2020-2021学年八年级数学下册【课时A计划】人教版（安徽）精品课件PPT

18.2.3 正方形 18.2 特殊的平行四边形 问题引入 平行四边形 矩形 菱形 ？ 有一个角为直角 邻边相等 是什么？ 新知探究 A B C D A B C D 两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD 正方形是特殊的矩形 邻边相等的矩形。 正方形 正方形 ★正方形是特殊的菱形 一个角是直角的菱形。 轴对称图形，有4条对称轴 O A B C D (A) (B) 1、对称性 四边相等 2、边 AB=BC=CD=DA 四角相等 3、角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 4、对角线 相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形的性质 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一个内角是直角 1、定义法 ∵ □ABCD中，AB=BC且∠A=90°， ∴ABCD为正方形 A B C D A B C D 正方形的判定 正方形 菱形 一内角是直角 2、菱形法 ∵ 菱形ABCD中，∠A=90°， ∴ABCD为正方形 A B C D A B C D 矩形 一组邻边相等 正方形 3、矩形法 A B C D A B C D ∵ 矩形ABCD中，AB=BC， ∴ABCD为正方形. 已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O。 求证： △ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是全等的等腰直角三角形。 　　例5　求证：正方形的两条对角线把这个正方形分　　 成四个全等的等腰直角三角形． 　　 O　 A　 B　 C　 D　 典例精析 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90° ∴AC=BD，AC ⊥ BD,AO=BO=CO=DO ∴△ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌ △ CDO ≌ △ DAO 结论很重要！ 平行四边形 矩形 菱形 一个角是直角 一组邻边相等 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 1.在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F， 求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。 分析：连接AF，要求BF=EF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF （2）根据（1）的结论，要求BF=CE，求证△CEF为等腰直角三角形即可 小试身手   解析：（1）连接AF 在Rt△AEF和Rt△ABF中， ∵AF=AF，AE=AB， ∴Rt△AEF≌Rt△ABF， ∴BF=EF； 2.证明： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线垂直的矩形是正方形。 分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得出结论； （2）由矩形的性质和已知条件得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论． 解：（1）如图1所示： 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°； 求证：四边形ABCD是正方形； 证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD是正方形； 解：（2）如图2所示： 已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD； 求证：四边形ABCD是正方形； 证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是正方形． 3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）四边形AEDF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？ （3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？ 解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形； （2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形， ∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形； （3）∵菱形对角线互相垂直， ∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形； （4）∵正方形既是菱形又是矩形， ∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形． 轴对称图形，有4条对称轴 四边相等 四角相等 正方形的性质 相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形的判定 课堂小结 1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　） A．50 B．55 C．70 D．75 分析：由平角的定义求出∠CED的度