1.4 第1课时 角平分线的性质和判定-2020-2021学年八年级数学下册【课时A计划】北师大版（安徽）精品课件PPT

1.4 角平分线 第1课时 角平分线的性质和判定 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等 的角. 你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 对折 导入新课 1 知识点 角平分线的性质 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流. 感悟新知 如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB的平分 线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB的垂 线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你 得到什么结论？在OC上再取 几个点试一试. 通过以上测量，你发现了 角的平分线的什么性质？ A B O P C D E 归 纳 定理　　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. ∵PD丄OA，PE丄OB ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等). 证明： 1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.书写格式： 如图，∵OP平分∠AOB， PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE. 7 B A D O P E C 定理应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 例1 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长. 解： ∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F, 且DE＝DF， ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果 一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜 边的一半). 2 知识点 角平分线的判定 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两 边的距离相等. O D E P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 A C B 如图，由 于点 D ， 于点E，PD= PE ， 可 以得到什么结论 ？ OB PE ^ PD ^ OA B A D O P E 到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上. 证明过程： 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE． 求证：OP平分∠AOB. ∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，  ∴∠ODP＝∠OEP＝90°， ∵PD＝PE，OP＝OP， ∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ). ∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 证明： 判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上． 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 应用： 导引： 要证AD平分∠BAC，已知条件 中有两个垂直，即有点到角的 两边的距离，再证这两个距离 相等即可证明结论，证这两条 垂线段相等，可通过证明 △BDE和△CDF全等来完成． ∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC. 证明： 总 结 判定角平分线有两步： (1)找出与角的两边都垂直的垂线段； (2)证明两条垂线段相等． $