§2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-2020-2021学年高中数学选修1-1【导学教程】同步辅导（人教A版）课件PPT

第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 第2课时　椭圆方程及性质的应用 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 题型一　直线与椭圆的位置关系 例1 课堂探究案·素养提升 已知椭圆C：＋＝1，一个顶点为A(0，2)． (1)若将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D，求椭圆D的方程； (2)若椭圆C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的M，N两点，且|AM|＝|AN|，求m的取值范围． 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 【自主解答】　(1)由题意得，椭圆C的对称中心(0，0)关于点P(1，2)的对称点为(2，4)，且对称轴平行于坐标轴，长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P(1，2)旋转180°得到椭圆D的方程为eq \f(（x－2）2,12)＋eq \f(（y－4）2,4)＝1. 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 因为|AM|＝|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1得：2,1)eq \f(x,12) ＋2,1)eq \f(y,4) ＝1，① 2,2)eq \f(x,12) ＋2,2)eq \f(y,4) ＝1，② 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 用①减去②得：＝，所以k＝＝－×，再由垂直平分线的性质得－＝＝，所以＝， 所以y1＋y2＝－2，所以x1＋x2＝－3k(y1＋y2)＝6k， 故MN的中点(3k，－1)． 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 把y＝kx＋m代入椭圆C：＋＝1得，(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，所以x1＋x2＝6k＝，所以m＝－(1＋3k2)，所以－mx2＋6kmx＋3m2－12＝0， 由题意知，判别式大于0，即36k2m2＋4m(3m2－12)>0，m(m－4)<0，所以0<m<4，故m的取值范围为(0，4)． 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 ●规律总结 直线与椭圆位置关系的判断方法 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 ◎变式训练 1．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得eq \f(x2,4)＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)． 当－eq \r(5)<m<eq \r(5)时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m＝－eq \r(5)或m＝eq \r(5)时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m<－eq \r(5)或m>eq \r(5)时，Δ<0，直线与椭圆相离． 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 题型二　弦长及中点弦问题 例2 【自主解答】　∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝， ∴右焦点F(，0)，∴直线l方程y＝x－. 由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0. 已知斜率为1的直线l过椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求线段AB的长及线段AB中点坐标. 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝，即弦AB的长为. 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 设AB中点为M(x0，y0)， ∴x0＝＝， y0＝x0－＝－＝－. 故中点坐标为. 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 ●规律总结 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同点，M(x0，y0)是线 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A） 菜 单 段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－. 第二章 圆锥曲线与方程 |数学|选修1-1（A）