第一章章末优化整合-2020-2021学年高中数学选修2-2【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 章末优化整合 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 1体系构建 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 专题一　归纳推理和类比推理 1.归纳推理的应用 归纳推理法是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理法，它在数学研究或数学学习中有着重要的作用：发现新知识、探索真理、预测答案、探索解题思路等. 2专题归纳 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 　设n∈N＋，且sin x＋cos x＝－1，求sinnx＋cosnx的值.(先观察n＝1，2，3，4时的值，再归纳猜想sinnx＋cosnx的值) 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) [解析]　先观察研究n＝1，2，3，4时的情形. 当n＝1时，有sin x＋cos x＝－1. 当n＝2时，有sin2x＋cos2x＝1. 当n＝3时，有sin3x＋cos3x＝(sin2x＋cos2x)(sin x＋cos x)－sin xcos x·(sin x＋cos x). 因为(sin x＋cos x)2＝(－1)2， 所以sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝1. 所以sin xcos x＝0. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 代入前面的式子， 即得sin3x＋cos3x＝1×(－1)－0×(－1)＝－1. 当n＝4时，有sin4x＋cos4x＝(sin3x＋cos3x)(sin x＋cos x)－sin xcos x(sin2x＋cos2x)＝(－1)2－0×1＝1. 由以上我们可以猜测， 当n∈N＋时，有sinnx＋cosnx＝(－1)n成立. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 2.类比推理的应用 类比是从特殊到特殊的推理，它以比较为基础，类比法有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.著名哲学家康德说过“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比法往往能指明前进的方向”. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 　现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq \f(a2,4).类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) [解析]　平面内eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2))) eq \s\up12(2)类比到空间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2))) eq \s\up12(3)＝eq \f(a3,8). [答案]　eq \f(a3,8) 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 专题二　综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径.反证法是一种间接证明的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 　试用多种方法推证下列命题： 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤eq \f(sin α,1－cos α). 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) [证明]　证法一　(作差比较法) 2sin 2α－eq \f(sin α,1－cos α)＝4sin αcos α－eq \f(sin α,1－cos α) ＝eq \f(sin α（4cos α－4cos2α－1）,1－cos α) ＝eq \f(－sin α（2cos α－1）2,1－cos α). ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0. ∴2sin2α－eq \f(sin α,1－cos α)≤0，∴2sin 2α≤eq \f(sin α,1－cos α). 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 证法二　(作商比较法) eq \f(2sin 2α,\f(sin α,1－cos α))＝eq \f(4sin α·cos α,sin α)·(1－cos α) ＝4cos α(1－cos α)＝1－(2cos α－1)2≤1. ∵0＜α＜π， ∴sin α＞0，1－cos α＞0，∴eq \f(sin α,1－c