2.5 夹角的计算（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§5　夹角的计算 5.1　直线间的夹角 5.2　平面间的夹角 5.3　直线与平面的夹角 数学 课标要求:1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:①如图(1)所示,直线l1与直线l2的夹角为θ,直线l1,l2的方向向量分别为m,n. ③如图(3)所示,平面α∩β=l,平面α的法向量为m,平面β的法向量为n. 数学 想一想1:在图(1)中,角θ与<m,n>有怎样的关系? (θ=<m,n>) 想一想 想一想3:在图(3)中,两平面所成的二面角与法向量m,n的夹角之间具有怎样的关系? (互补) 数学 知识探究 1.直线间的夹角 设直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2. 数学 <n1,n2> 2.平面间的夹角 (1)定义:如图所示,平面π1与π2相交于直线l,点R为直线l上任意一点,过点R,在平面π1上作直线l1⊥l,在平面π2上作直线l2⊥l,则l1∩l2=R,我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角. π-<n1,n2> 数学 探究:若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二面角的平面角与两法向量夹角<n1,n2>的关系是什么? 3.直线与平面的夹角 设直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,直线l与平面α的夹角为θ. (同进同出互补,一进一出相等) 数学 题型一 课堂探究·素养提升 直线间的夹角 [例1] 如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC的夹角. 数学 数学 数学 思维总结 数学 数学 数学 数学 题型二 平面间的夹角 [例2] 等边△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边上的中点(如图①),现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图②).求平面ABD与平面EFD夹角的余弦值. 数学 数学 方法技巧 数学 题型三 直线与平面的夹角 [例3] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD= 90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求CD与平面ADMN的夹角的正弦值. 名师导引:PA⊥底面ABCD,底面又是一个直角梯形,所以过点A的三条棱AB,AD,AP两两垂直,可由此建立空间直角坐标系.利用向量的垂直证明问题(1),借助法向量的思想解决问题(2). 数学 数学 数学 方法技巧 利用空间向量求线面角的方法 数学 数学 [思维激活] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点. (1)求证:直线AF∥平面PEC; 数学 (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值. 数学 题型四 二面角 [例4] 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,CD=2,AA1=4,底面ABCD的面积为6,求二面角A1-CD-A的大小. 名师导引:直棱柱中侧棱垂直于底面,可以一条侧棱所在直线为z轴,以平面ABCD为xOy面建立空间直角坐标系,利用法向量的夹角求解. 数学 数学 设二面角大小为θ,它的两个半平面对应的法向量分别为n1,n2,则观察图形:若θ为锐角,那么cos θ=|cos<n1,n2>|,若θ为钝角,那么cos θ=-|cos<n1,n2>|. 思维总结 数学 即时训练4-1:如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形,AD=AA1, ∠DAB=60°,F为棱AA1的中点.求平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的 大小. 数学 数学 备选例题 [例1] 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点. (1)求A1C与DE夹角的余弦值; 数学 (2)求AD与平面B1EF夹角的正弦值; 数学 (3)求二面角B1-EF-B的余弦值. 数学 误区警示 数学 [例2] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD= 90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD,E为垂足. (1)求证:BE⊥PD; 数学 数学 (2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值. 数学 达标检测·课堂巩固 D 1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB, CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　 　) 数学 C (A)120° (B)150° (C)30°或