第2章 一元二次方程 知识讲解-2020-2021学年浙教版八年级数学下册

一元二次方程 知识梳理 一、一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 2.一般形式：，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根. 二、一元二次方程的解法 1.直接开平方法：如果方程能化成或的形式，那么可得或. 2.配方法：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 3.因式分解法：通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 4.求根公式法：当时，方程的实数根可写成的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解法叫做公式法. 【用公式法解一元二次方程的步骤】 把方程化为一般式→确定a，b，c的值→计算的值→如果非负，则代入求解，如果为负数，则方程无实数根. 3、 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 1.根的判别式：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用“△”表示，即. 【注】①使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a，b，c，求出△； ②当时，方程有实数根. 2.根与系数的关系 （1）韦达定理：若一元二次方程有实数根，设这两个实数根分别为、，可得，. （2）拓展 ①； ②； ③. 四、一元二次方程的应用 1.增长率问题 （1）增长量=原产量×增长率； （2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）. 2.数字问题 例：一个两位数等于其个位数字的平方，个位数字比十位数字大3，求这个两位数. 3.利润问题 题型：售价每上升/下降a元，销量减少/增加b件.问应把售价上升/下降多少元能使利润达到c元？ 解决方法：此类题型一般设售价上升/下降x元，利用单件利润×销量=总利润为等量关系列方程解决问题. 4.面积问题 5.动点问题 （1） 求动点运动时间转化为求动点运动路程，即线段长度； （2） 利用图形面积或勾股定理构造方程. 1 $