压轴04 函数的零点与方程根的关系-备战2021年高考数学必刷压轴题精选精练

压轴04 函数的零点与方程根的关系 一、单选题 1. 已知函数，若有两个零点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：当时，， ， ， 当，， ， ， 综上可知：， 所以， 若有两个零点，， 则，有两个根，，不妨设， 当时，，当时，， 令，则，，，， ，， 设，， 求导，令，解得：， ，，函数单调递减， ，，函数单调递增， 当时，取最小值，， 的值域为， 取值范围， 故选A． 2. 已知函数，则方程的根的个数为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】解：函数，令， 则方程， 当时，可得，解得； 当时，，可得或， 所以或． 若， 当时，，可得，解得； 当时，，可得或， 所以或 ， 若， 当时，可得，解得舍去； 当时，，可得或， 所以或， 若， 当时，可得，解得 舍去； 当时，，可得 或， 所以或， 所以方程的根的个数为7个． 故选A． 3. 下列函数使方程的实根个数最多的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：对于A，由，解得或，有两解； 对于B，由，无解； 对于C，，作出函数与函数的图象如下图所示， 由图象可知，方程只有一个解； 对于D，，则或，易知，该方程共有四个解； 故选：D． 4. 已知函数，关于x的方程有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：当时，，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极小值； 当时，，，此时恒成立， 此时函数为增函数； 作出函数的图象如图： 设， 则时，方程有3个根； 当时，方程有2个根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有0个根． 方程可转化为， ， 则若有三个相异的实数根， 等价为方程有2个相异的实数根、， 其中，或， 当方程的两个实根满足时， 有，可得，此时满足条件； 当方程的两个实根满足时， 令，对称轴， 则，即，此时不等式无解； 综上可知，， 故选D． 5. 函数的导数为，若方程的根小于1，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由函数可得， 由于使得成立的根满足，即． 由于 ，，，故有， 故选：A． 6. 对于实数a，b定义运算“”：，设，若关于x的方程恰有三个互不相同的实根，，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ， 其图象如下图所示： 由图可得：，， 故，， ， 故选D． 7. 函数对于任意实数x，都有与成立，并且当时，，则方程的根的个数是（ ） A. 2020 B. 2019 C. 1010 D. 1009 【答案】A 【解析】解：由函数对于任意实数x，都有， 则函数为偶函数． 又成立， 所以函数的图象关于直线对称， 所以， 即函数为周期为2的周期函数． 由当时，， 则函数的图象与直线在有两个交点，在有两个交点，在有两个交点在有两个交点，在无交点，在无交点， 即交点个数为2020， 故选：A． 8. 设，若有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：若有三个不同的实数根，则与有三个不同的交点，作出的图象如图， 如果满足与有三个不同的交点，则，所以． 故选C． 9. 已知函数，若关于x的方程有8个不同根，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：作函数的图象如右图， 备注：部分是以y轴为渐近线 关于x的函数有8个不同的零点，令 方程有2个不同的正解，且在上； ， 解得； 故选A． 10. 已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】解：由已知是定义在R上的奇函数， 所以，又， 所以的周期是2，且得是其中一条对称轴， 又当时，，， 于是图象如图所示， 又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于对称， 所以， 所以零点之和为． 故选A 二、填空题 11. 设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】解：依题意，存在，使， 当时，使，  当时，解得， 由， 得或，舍去， 当时，，此时为增函数， 当时，，此时为减函数， 在处取得极大值，这个极大值也为a的最大值， ， 实数a的取值范围为 故答案为． 12. 函数的所有零点之和为________． 【答案】4 【解析】解：，易知不是的零点， 所以可得 ，， 令，，， 则