测评卷（五） -2021新高考数学优选测评卷（新高考地区专用）

2021年新高考数学优选测评卷 数学 优选卷（五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 故 ， 故选：A 2．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 故选：B 3．如图，已知圆锥 的轴截面是正三角形， 是底面圆 的直径，点 在 上，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取 的中点 ，劣弧 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， 分别为 中点， ， ， ， ， 又 ， 为 中点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则异面直线 与 所成的角是 或其补角. 连接 ， ， ，易得 ， 不妨设 ，则 ， ， ， ， ，则 ， 在 中， ， 异面直线所成角范围为 ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 . 故选：A. 4．1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的 部分为一边，向外凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（ ）（ ， ） A．577 B．537 C．481 D．331 【答案】A 【解析】设原正三角形边长为 ， 则由正弦定理得 ，即 ， 所以正三角形外接圆半径为 ，则 ， 又由题意得凸出来的小正三角形边长为 ， 则 ， 则 ， 所以落在六角星中的豆子数约为 ． 故选：A． 5．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知 ，结果取整数）（ ） A．23天 B．33天 C．43天 D．50天 【答案】B 【解析】 ，故 ，故 ， 令 ，∴ ，故 ， 故选：B. 6．函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数 ，可得 ，可排除B、C选项； 又由 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以函数 为偶函数，所以排除D选项. 故选：A. 7．已知 是 上的奇函数， ， ，则数列 的一个通项公式为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题已知 是 上的奇函数， 故 ， 代入得： ， ∴函数 关于点 对称， 令 ， 则 ， 得到 ， ∵ ， ， 倒序相加可得 ， 即 ， 故选：A． 8．过抛物线 上一点P作圆 的切线，切点为 ，则当四边形 的面积最小时，P点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设 ，当四边形 的面积最小时，点P到圆心 的距离最小，即 ，可令 ，则 ，则 时， ，此时取得最小值，四边形 的面积为 ，所以 故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知 ，且 ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A中，由 ，且 ，可得 ， ， 由对数函数性质可知 ， 为单调减函数， 因为 ， ， ，所以 ，所以A正确； 对于B中，由 ， ， 可得 ， 当且仅当 时，即 时等号成立，因为 ，所以B错误； 对于C中，由 ， ， 因为指数函数性质可知 ， 都是单调递减函数，幂函数 是单调递减函数， 因为 ， ，所以C错误； 对于D中，令 ，是单调递增函数，因为 ，所以D正确． 故选：AD． 10．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则（ ） A． 为 的一个焦点 B．双曲线 的离心率为 C．过点 作直线与 交于 两点，则满足 的直线有且只有两条 D．设 为 上三点且 关于原点对称，则 斜率存在时其乘积为 【答案】BD 【解析】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ， 所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以则其焦点为 、 ，离心率 ，故A错误，B正确；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的对称性得，满足 的直线有4条，故C错误； 设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，故D正确； 故选：BD 11．已知函数 ，若关于x的方程 恰有两个不同解 ，