5.1 导数的几何意义-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1.1导数的几何意义 导学案 【学习目标】 1.理解曲线的切线的含义 2.理解导数的几何意义 3.会求曲线在某点处的切线方程 4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数. 【自主学习】 知识点1曲线的切线 如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. (1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关； (2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 知识点2导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率. 知识点3 导数的概念 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数， 这样，当x变化时，f′(x)便是关于x的一个函数，称它为函数y＝f(x)的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝ ＝ . 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数y′|就是函数y＝f(x)在开区间(a，b)(x∈(a，b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值，即y′|＝f′(x0)，所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0). 【合作探究】 探究一 求曲线的切线方程 考向1 求曲线在某点的切线方程 例1求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程. 解　因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为 f′(1)＝ ＝ ＝[(Δx)2＋3Δx＋2] ＝2， 故所求切线方程为y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0. 归纳总结：若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 练习1(1)曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处切线的倾斜角为 . (2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为 . 答案　(1)π　(2)(－1，－1)或(1,1) 解析　(1)设切线的倾斜角为α，则 tan α＝ ＝ ＝ ＝ ＝[(Δx)2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，∴α＝π. ∴切线的倾斜角为π. (2)设点P的坐标为(x0，x)，则有 ＝ ＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x. ∴3x＝3，解得x0＝±1. ∴点P的坐标是(1,1)或(－1，－1). 探究二 求导函数 例2求函数f(x)＝的导函数. 解　 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝－＝， ∴＝，∴f′(x)＝ ＝ ＝. 归纳总结：求解f′(x)时，结合导数的定义，首先计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x).然后，再求解，最后得到f′(x)＝ . 练习2 已知函数f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1). 解　 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－1－(x2－1)＝2Δx·x＋(Δx)2， 故 ＝ ＝2x， 得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2. 探究三 求曲线过点的切线方程 例3求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程. 解　y′＝ ＝ ＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2. 设切点的坐标为(x0,2x0－x)， ∴切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0). 又∵切线过点(－1，－2)， ∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)， 即2x＋3x＝0， ∴x0＝0或x0＝－. ∴切点的坐标为(0,0)或(－，). 当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x；当切点为(－，)时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0. 归纳总结：若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 练习3求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程. 解　由题意知y′＝ ＝ ＝2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0). ∵点A在曲线y＝x2上， ∴y0＝x. 又∵A是切点， ∴过点A的切线的斜率y′|＝2x0. ∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为＝. ∴2x0＝， 解得x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0. 探