专题 求轨迹方程的常用方法-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

专题 求轨迹方程的常用方法

 

题型1　直接法求轨迹方程

【例1】已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q.若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．

(1)【解】　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，

由题意知|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，过点O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，

∴|O1M|＝.

又|O1A|＝，

∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．

当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

(2)　由题意，设直线l的方程为

y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将y＝kx＋b代入y2＝8x中，

得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系得x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线，

所以＝－，

即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，

(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，

2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③

将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，

∴k＝－b，此时Δ>0，

∴直线l的方程为y＝k(x－1)，

即直线l过定点(1，0)．

【方法总结】直接法求轨迹方程的一般步骤

(1)建立合理的直角坐标系；

(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等重关系用坐标表示为代数方程；

(3)化简整理方程、检验并说明所求的方程就是曲线方程．

运用直接法应注意的问题

(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；

(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．

【变式训练1】已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)，记动点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围．

【解】　(1)由已知得圆心为C(2，0)，半径r＝.

设P(x，y)，依题意可得|x＋1|＝，整理得y2＝6x.

故曲线E的方程为y2＝6x.

(2)设直线AB的方程为my＝x－2，

则直线CQ的方程为y＝－m(x－2)，可得Q(－1，3m)．

将my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝6m，y1y2＝－12，D(3m2＋2，3m)，|QD|＝3m2＋3，

|AB|＝2，

所以＝＝∈，

故∈.

 

题型2　定义法求轨迹方程

【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的轨迹方程．

【解】由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；

圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．

【方法总结】定义法求轨迹方程的解题策略

(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程；

(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

【变式训练2】在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于点D且||－||＝2　，求顶点A的轨迹方程．