专题 求轨迹方程的常用方法-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

专题 求轨迹方程的常用方法 题型1　直接法求轨迹方程 【例1】已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q.若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点． (1)【解】　如图，设动圆圆心为O1(x，y)， 由题意知|O1A|＝|O1M|， 当O1不在y轴上时，过点O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点， ∴|O1M|＝. 又|O1A|＝， ∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)． 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x. (2)　由题意，设直线l的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根与系数的关系得x1＋x2＝，① x1x2＝，② 因为x轴是∠PBQ的角平分线， 所以＝－， 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此时Δ>0， ∴直线l的方程为y＝k(x－1)， 即直线l过定点(1，0)． 【方法总结】直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系； (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等重关系用坐标表示为代数方程； (3)化简整理方程、检验并说明所求的方程就是曲线方程． 运用直接法应注意的问题 (1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的； (2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略． 【变式训练1】已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)，记动点P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围． 【解】　(1)由已知得圆心为C(2，0)，半径r＝. 设P(x，y)，