2.4.1 抛物线及其标准方程-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.4　抛物线

2.4.1　抛物线及其标准方程

知识自主预习

新知初探

知识点1. 抛物线的定义

【思考1】　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？

【答案】　连接两定点所得线段的垂直平分线.

【思考2】平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？

【答案】一条直线.

【要点】(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).

知识点2.抛物线的标准方程

【思考】　二次函数解析式是什么?其图象是什么?

【答案】二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),它的图象是抛物线.

【要点】由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：

y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).

现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：

 

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)抛物线的方程都是二次函数．(   )

(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.(   )

(3)抛物线的开口方向由一次项确定．(   )

【答案】(1) ×(2) √(3) √

2．以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是(　　)

A．x＝4y2     B．y＝4x2     C．x2＝4y     D．y2＝4x

【解析】∵抛物线焦点为F(1,0)，

∴可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，

且＝1，则p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.

【答案】D

3．已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是(　　)

A．0          B.          C．1           D．2

【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1，

根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.

【答案】　C

4．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　)

A．x＝1        B．x＝        C．y＝－1        D．y＝－

【解析】因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，

所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，

又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，

所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.

【答案】C

5．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是________．

【解析】由题意可知，动点P到直线x＋2＝0的距离与它到点M(2,0)的距离相等，

利用抛物线定义求出方程．

【答案】y2＝8x

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1求抛物线的标准方程

【例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为y＝；

(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；

(3)经过点(－3，－1)；

(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．

【解】 (1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.

(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.

(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．

若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；

若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.