2.3.2 双曲线的简单几何性质（一）-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.3.2　双曲线的简单几何性质(一)

知识自主预习

新知初探

知识点1.　双曲线的性质

【思考】观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？

(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？

【答案】(1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.

(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.

【要点】

 

 

知识点2.　等轴双曲线

【思考】　求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．

(1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1.

【答案】(1)的实半轴长1，虚半轴长1

(2)的实半轴长，虚半轴长.

它们的实半轴长与虚半轴长相等．

【要点】　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(  )

(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(  )

(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(  )

(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(  )

【答案】(1) √(2) ×(3) ×(4) √

2．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)

A．实轴长为4，虚轴长为2

B．实轴长为8，虚轴长为4

C．实轴长为2，虚轴长为4

D．实轴长为4，虚轴长为8

【解析】双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.

【答案】　B

3.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】　由题意知a2＋5＝9， 解得a＝2，e＝＝.

【答案】C

4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　)

A．x2－＝1   B．－y2＝1

C．－x2＝1   D．y2－＝1

【解析】从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.

【答案】　D

5．与双曲线－＝1共渐近线且经过点M(2，6)的双曲线的标准方程为__________．

【解析】设双曲线的标准方程为－＝t(t≠0)，

又经过点M(2，6)，

∴－＝t，即t＝2，