2.3.2 双曲线的简单几何性质（二）-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.3.2　双曲线的简单几何性质(二)

知识自主预习

新知初探

知识点1.　直线与双曲线的位置关系

【思考】直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？

【答案】不能．

【要点】　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．

知识点2弦长公式

【思考】平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公式及斜率公式分别是什么?

【答案】|AB|=,k=.

【要点】若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则

|AB|＝＝.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(  )

(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(  )

(3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(  )

【答案】(1) ×(2) ×(3) √

2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

【答案】　B

3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)

A．(1,2)   B．(－2，－1)

C．(－1，－2)   D．(2,1)

【解析】将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，故选C.

【答案】C

4．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________．

【解析】　易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，

∴－＝6，∴k＝－，

∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.

【答案】　3x＋4y－5＝0

5．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条．

【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，

由Error!得y＝±2，

∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意．

当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－)，

由Error!

得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.

当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，

|AB|＝

＝

＝ ＝＝4，

解得k＝±.故满足条件的直线l有3条．

【答案】3

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1直线与双曲线的位置关系

角度1　直线与双曲线位置关系的判定与交点问题

【例1】已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.

(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；

(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；

(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.

【解】由Error!

得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.     ①

(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.

∴Error!

解得k>或k<－，