2.3.2 双曲线的简单几何性质（二）-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.3.2　双曲线的简单几何性质(二) 知识自主预习 新知初探 知识点1.　直线与双曲线的位置关系 【思考】直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 【答案】不能． 【要点】　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点2弦长公式 【思考】平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公式及斜率公式分别是什么? 【答案】|AB|=,k=. 【要点】若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝＝. 自我测评 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( ) (2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．( ) (3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．( ) 【答案】(1) ×(2) ×(3) √ 2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　B 3．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A．(1,2) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(2,1) 【解析】将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，故选C. 【答案】C 4．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________． 【解析】　易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去