1.3.3 非-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

1.3.3　非 (not)

知识自主预习

新知初探

知识点1.　逻辑联结词“非”

【思考】　观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？

(1)p：2是4的算术平方根；q：2不是4的算术平方根.

(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.

【答案】两组命题中，命题q都是命题p的否定.

“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则对应集合A在全集U中的补集∁UA.

【要点】　(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”.

(2)命题的真假：若p是真命题，则必是假命题；若p是假命题，则必是真命题.

知识点2“p∧q”与“p∨q”的否定

1.对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“或”.对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“且”.

复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：

(1)确定复合命题的构成形式；

(2)判断其中各简单命题的真假；

(3)利用真值表判断复合命题的真假.

2.语句“a∈A或a∈B”的否定形式是“a∉A且a∉B”，语句“a∈A且a∈B”的否定形式是“a∉A或a∉B”.对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，如“>0”的含义是“有意义且>0”，故其否定应为“无意义或≤0”，即“x＝0或<0”.

知识点3　命题的否定与否命题

【思考】　已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？

【答案】命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；

命题p的否定：平行四边形的对角线不相等.

命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.

【要点】(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定.

①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；

②p与“非p”的真假必须相反；

③“非p”必须包含p的所有对立面.

(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题p：2>1,则:2<1;

(2) 已知p，q是两个命题，若“(﹁p)∨q”是假命题，则p是真命题，q是假命题;

(3) 若命题“p∧q”为假，且﹁p为假，则q假.

【答案】(1) ×(2) √(3) √

2.已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)

A.(﹁p)∨q   B.p∧q

C.(﹁p)∧(﹁q)   D.(﹁p)∨(﹁q)

【解析】由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题﹁p是假命题，命题﹁q是真命题，从而(﹁p)∨q，p∧q，(﹁p)∧(﹁q)  都是假命题，(﹁p)∨(﹁q) 为真命题.

【答案】D

3.若p是真命题，q是假命题，则(　　)

A.p∧q是真命题   B.p∨q是假命题

C.﹁p是真命题   D.﹁q是真命题

【解析】　因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题，﹁q为真命题.故选D.

【答案】D

4.“a≥5且b≥2”的否定是________.

【解析】　“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”，而“p且q”的否定为“﹁p或﹁q”.

【答案】a<5或b<2

5.给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________.

①命题“p且q”为真；②命题“p或q”为假；

③命题“p或﹁q”为真；④命题“p且﹁q”为真.

【解析】　据题知命题p为真命题；命题q为假命题.故p∧q为假，p∨q为真，p∨(﹁q)为真，p∧(﹁q)亦为真，只有③④正确.

【答案】　③④

 

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1　命题及构成形式

【例1】　写出下列命题的否定形式.

(1)面积相等的三角形都是全等三角形；

(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.

【解】(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.

(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.

(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.

【方法总结】常见关键词的否定

　是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“∨”等.

【变式训练1】　写出下列命题的否定形式.

(1)p：y ＝ cos x 是周期函数；

(2)p：4<3；

(3)p：空集是集合A的子集；

(4)p：3不是27的约数.

【解】　(1) ：y ＝ cosx不是周期函数.

(2) ：4≥3.

(3) ：空集不是集合A的子集.

(4) ：3是27的约数.

类型2　命题的否定的真假应用

【例2】已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“”同时为真命题，求实数a的取值范围.

【解】命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于

Error!⇔Error!，解得a≤－1.

命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，