1.3.1 且～1.3.2 或-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

1.3简单的逻辑联结词

1.3.1且

1.3.2或

知识自主预习

新知初探

知识点1.  “且”

【思考】观察三个命题：①2是4的约数；②2是6的约数；③2是8的约数且是10的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.

【答案】命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.

【要点】(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.

我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：

 

命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.

(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.

知识点2.　“或”

【思考】　观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.

【答案】命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.

“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q， 即两者中至少要有一个.

【要点】　(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.

(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.

我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：

 

命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.

(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．(　　)

(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．(　　)

(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．(　　)

(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．(　　)

【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．“xy≠0”是指(　　)

A．x≠0且y≠0

B．x≠0或y≠0

C．x，y至少一个不为0

D．x，y不都是0

【解析】　xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.

【答案】A　

4.命题“16的平方根是4或16的平方根是-4”是　　　　　形式; 

【答案】p∨q

4.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为，q：函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称，则p∧q是________命题.(填“真”或“假”)

【解析】　据题命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题.

【答案】　假

5.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________.

【解析】　命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a－1<0，解得a<，

命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，

得－≤1，解得a≥－2.

由p∧q为真得p、q都为真，故a的取值范围为(－∞，)∩[－2，＋∞)，即为[－2，).

【答案】　[－2，)

 

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1含有“且”“或”命题的构成

角度1　简单命题与复合命题的区分

【例1】指出下列命题的形式及构成它的命题.

(1)向量既有大小又有方向；

(2)矩形有外接圆或有内切圆；

(3)2≥2.

【解】(1)是p∧q形式命题.

其中p：向量有大小，q：向量有方向.

(2)是p∨q形式命题.

其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.

(3)是p∨q形式命题.

其中p：2>2，q：2＝2.

【方法总结】复合命题的判断方法