第四讲 一.数学归纳法-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

第四讲 一.数学归纳法 探究点 数学归纳法的原理与定义 问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法. 完全归纳法 （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？ 猜想数列的通项公式为： 解: 不完全归纳法 从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法 验证: 逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？ 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？ 猜想数列的通项公式为 证明: (1)当 猜想成立. (2) 那么,当 根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立. 2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. 若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立. 命题对从n0开始所有的正整数n 都成立. 归纳奠基 归纳递推 数学归纳法： 两个步骤 一个结论 缺一不可 已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为 360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边 形的内角和为(n-2)·180°，若用数学归纳法证 明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则 第一个正整数取值为__________ 3 【即时训练】 例1 用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时， 左边=12=1, 等式成立 (2)假设当n=k( )时等式成立,即 那么,当n=k+1时 … … … 右边= 1 即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立. 用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式 为