第四讲 二.用数学归纳法证明不等式-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

第四讲 二.用数学归纳法证明不等式 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 证明当n取第一个值n0时命题成立； 2. 假设当 n=k(k≥n0, kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 数学归纳法 这种证明方法就叫做______________. 那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立, 如下证明对吗？ 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明. 证明: ①当n=1时,左边＝1，右边＝12＝1 ∴n=1时,命题成立. ②设n=k时,有 即n=k+1时，命题成立. 根据①②问可知，对n∈N*，等式成立. 证明:1+3+5+…+(2n1)=n2 . 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： 递推基础 递推依据 “找准起点，奠基要稳” “用上假设，递推才真” 注 意： 1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。 （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确． [知识提炼·梳理] 1．定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n＝n0时命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的使用范围 数学归纳法可以证明与正整数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明． 温馨提示　用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．” 类型1　用数学归纳法证明恒等式(自主研析) [典例1]　用数学归纳法证明eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n－1)＋eq \f(1,2n)＝1－eq \f(1,2n)(n∈N＋) 证明：(1)n＝1时，左边＝eq \f(1,2)，右边＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立， 即eq \f