第三讲 一.二维形式的柯西不等式-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

第三讲 一.二维形式的柯西不等式 广东省阳江市第一中学周如钢 有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: . 本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式: 柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养. 联 想 设 为任意实数. 思考： 由 反映出的两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比它的推导过程考虑与下面式子（涉及到四个实数，并且形式上也与平方和有关）有关的有什么不等关系: ① ① ① ① 证法一：如图： X o Y A(a,b) B (c,d) 设 是平面上任意的 两个向量， 的夹角为 那么： 上式两边同时取绝对值，得： 又 ， 所以： 显然，等号成立的条件是：向量 共线。 …Ⅱ 将Ⅱ式用坐标表示，可得： 即： 定理1(简单形式的柯西不等式) 若 都是实数,则 .当且仅当 时,等号成立. 证法（三）：（利用比较法） 所以： 显然，上式当且仅当 时，“ = ” 号成立。 想一想：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)吗？ 提示　不可以．bd＝0时，柯西不等式成立，但eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)不成立． ② ② ① ① 二维形式的柯西不等式是向量 形式的柯西不等式的坐标表示 ③ ③ 简单形式的柯西不等式的一些变式 变式1: ·≥|ac＋bd|(当且仅当ad＝bc时，等号成立) 变式2：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立) 变式3: ·≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号成立) � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.3