第二讲 三.反证法与放缩法-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

第二讲 三.反证法与放缩法 思考？ 将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4, 则球的总数应不超过4+4=8, 这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的. 反证法的证明过程： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾； 用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件 否定结论 导 致 逻辑矛盾 反设 不成立 结论 成立 反证法的思维方法：正难则反 * 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法， 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理， 最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。 理论 归纳总结： 三个步骤：反设—归谬—存真 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理， 最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。 练习 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a， 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 ```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是方程的两个根. （1）直接证明有困难 正难则反! 归纳总结： 哪些命题适宜用反证法加以证明？ 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题 （