3.3 第3课时 杨辉三角(word练习)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)

第三章　3.3　第3课时 1．根据图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 C　[杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，除1以外的每个数都等于它“肩上”两个数的和，所以a＝3＋3＝6．] 2．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第____________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3． 34　[由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3，即二项展开式的第14项和第15项的系数比为Ceq \o\al(13,n)∶Ceq \o\al(14,n)＝2∶3，即eq \f(n！,13！n－13！)∶eq \f(n！,14！n－14！)＝2∶3，即eq \f(14,n－13)＝eq \f(2,3)，解得n＝34．] 1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为____________． 2n－1　[由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1．] 2．如图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第2个数是____________． eq \f(n2－n＋2,2)(或eq \f(nn－1,2)＋1)　[方法一：设第n行第2个数为an(n≥2)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝2，,n＋an＝an＋1n≥2.))所以an＋1－an＝n. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2 ＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2 ＝eq \f(n－11＋n－1,2)＋1＝eq \f(n2－n＋2,2). 方法二：由图中数学规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝eq \f(nn－1,2)＋1．] 3．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n行(n∈N*)，在这些数中，非1的数之和为____________． 2n－2n　[所求和S＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)＝eq \f(2n－1,2－1)－2n＋1＝2n－2n.] 4．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关．如图是一个7阶的杨辉三角．给出下列四个命题：①记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij，则数列{aij}的通项公式为Ceq \o\al(j,i)； ②第k行各数的和是2k； ③n阶杨辉三角中共有eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))2,2)个数； ④n阶杨辉三角的所有数的和是2n＋1－1． 其中正确命题的序号为____________． ②④　[据第i行各个数是(a＋b)i的展开式的二项式系数，故数列{aij}的通项公式为Ceq \o\al(j－1,i)，故①错；各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，第k行各数的和是2k，故②正确；第k行共有k＋1个数，从而n阶杨辉三角中共有1＋2＋…＋(n＋1)＝eq \f(n＋1n＋2,2)个数，故③错；n阶杨辉三角的所有数的和是1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1，故④正确．] 5．观察“莱布尼茨三角”，不难看出它与杨辉三角有类似的一条性质即莱布尼茨三角中的每一个数都等于它左右脚下的两数之和，如图箭头所示，从第三行起将每行的第三个数eq \f(1,3)，eq \f(1,12)，eq \f(1,30)，…按由大到小的顺序组成数列{an}，求数列{an}的通项公式． 解　从第三行起将每行的第二个数eq \f(1,6)，eq \f(1,12)，eq \f(1,20)，…按由大到小的顺序组成数列{bn}，如图易知bn＝eq \f(1,n＋1n＋2)，又a1＋b1＝eq \f(1,2)，an＋bn＝bn－1(n≥2)，所以an＝bn－1－bn＝eq \f(1,nn＋1)－eq \f(1,n＋1n＋2)＝eq \f(2,nn＋1n＋2)(n≥2)，即an＝eq \f(2,nn＋1n＋2)(n≥2)(*)．又a1＝eq \f(1,3)也满足(*)，故数列{an}的通项公式为：an＝eq \f(2,nn＋1n＋2). $