考点47 直线与曲线的最值问题-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点47 直线与曲线的最值问题 一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：知识理解 1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解 二．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 考向一 最值问题考向分析 【例1】（2021·漠河市高级中学高三月考（文））如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）为椭圆上一点， 又 ，可得，，即 所以椭圆的标准方程是. （2）由（1）知，，直线的方程为， 联立 ，整理得：， 解得：， 设点，到直线的距离为和， 则，， 直线与椭圆相交于两点， 联立，整理得：，解得：. . 设四边形面积为，则. 设，则， 当，即，即时，四边形面积有最大值. 【举一反三】 1．（2021·四川成都市·高三二模（理））已知椭圆：经过点，其长半轴长为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由已知，即椭圆的方程为． ∵椭圆经过点， ∴，解得． ∴椭圆的方程为． （Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，． 由，消去，得． ∵， ∴，． ∵为点关于轴的对称点， ∴． ∴直线的方程为，即． 令，则． ∴． ∴△的面积． 令，则． ∴． ∵， ∴． ∴△的面积的取值范围为． 2．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知点，在直线：上(在上方)，，，斜率为的直线交抛物线：于点，，直线交抛物线于点，. （1）求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由题意可设：，由于与抛物线，直线均有交点， 故，， 联立与的方程得到，得， 而，得到， 得， 由于与抛物线、直线均有交点，故得， 综上，. （2）设，，，，则 ，， 故， 记，到直线的距离分别为， 则， 设：，其中，与抛物线联立得 ，由韦达定理得， 同理设：，由韦达定理得 故 ， 由（1）可知，， 故， 当且仅当，即等 故的取值范围是. 考向二 综合运用 【例2】（2021·浙江高三其他模拟）如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）若点，满足，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，，所以，， 因为椭圆和抛物线有相同的焦点，所以，即， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知椭圆， 由得， ，得，． 设，， 则， 所以． 易知，所以． 由得． ，得． 设，， 则， 所以， 所以． 所以 ，， 易知函数在上单调递减， 所以 【举一反三】 1．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点． （1）若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：． （2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）是垂直；证明见解析． 【解析】（1）由椭圆方程为知，右焦点坐标， 直线方程为，点坐标． 由知，直线斜率不为0， 故设直线的方程为， 从而，直线的方程为， 令得，点坐标为， 故直线的方程来， 联立方程组，消去得：， 设，， 即，， 从而，线段的中点， ， 综上可知，． （2） （ⅰ）当直线的斜率为0时，点即为点，从而． （ⅱ）当直线的斜率不为0时， 由（1）知，，， 所以，则， 直线的方程为， 又，令，得， 所以点的坐标为，即． 2．（2021·浙江期末）如图，已知A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，且，设直线与直线相交于点P，设． （1）求证：A，P，B三点的横坐标成等差数列； （2）当直线经过点，且时，若面积的为，求直线的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）由题意，点A，B，C，D是抛物线上四个不同的点， 设， 因为．所以，即，化简得：， ① 因为，所以，解得， 因为，，所以， 于是，所以，