专题06 与切线有关的计算-2021年中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题06 与切线有关的计算 1．（2020•上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　＜AO＜　． 解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， 如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE， 则OE⊥AD， ∴OE∥CD， ∴△AOE∽△ACD， ∴， ∴＝， ∴AO＝， 如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF， 则OF⊥BC， ∴OF∥AB， ∴△COF∽△CAB， ∴＝， ∴＝， ∴OC＝， ∴AO＝， ∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜， 故答案为：＜AO＜． 2．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　3cm或5cm　． 解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点， ∴⊙O与直线a相切时，切点为H， ∴OH＝1cm， 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示： OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）； 当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示： OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）； ∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm， 故答案为：3cm或5cm． 3．（2020•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC． （1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，求阴影部分的面积． （1）证明：连接OA、AD，如图， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， 又∵∠ADC＝∠B＝60°， ∴∠ACE＝30°， 又∵AE＝AC，OA＝OD， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AEC＝30°，∠ADO＝∠DAO＝60°， ∴∠EAD＝30°， ∴∠EAD+∠DAO＝90°， ∴∠EAO＝90°，即OA⊥AE， ∴AE为⊙O的切线； （2）解：由（1）可知△AEO为直角三角形，且∠E＝30°， ∴OA＝2，AE＝6， ∴阴影部分的面积为×6×2﹣＝6﹣2π． 故阴影部分的面积为6﹣2π． 4．（2020•广东）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD． （1）求证：直线CD与⊙O相切； （2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值． （1）证明：作OE⊥CD于E，如图1所示： 则∠OEC＝90°， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°， ∴∠OEC＝∠OBC， ∵CO平分∠BCD， ∴∠OCE＝∠OCB， 在△OCE和△OCB中，， ∴△OCE≌△OCB（AAS）， ∴OE＝OB， 又∵OE⊥CD， ∴直线CD与⊙O相切； （2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示： 则四边形ABFD是矩形， ∴AB＝DF，BF＝AD＝1， ∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD、BC是⊙O的切线， 由（1）得：CD是⊙O的切线， ∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2， ∴CD＝ED+EC＝3， ∴DF＝＝＝2， ∴AB＝DF＝2， ∴OB＝， ∵CO平分∠BCD， ∴CO⊥BE， ∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠BCH， ∵∠APE＝∠ABE， ∴∠APE＝∠BCH， ∴tan∠APE＝tan∠BCH＝＝． 5．（2020•丹东）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接BD，∠CBD的平分线交⊙O于点E，交AC于点F，且AF＝AB． （1）判断BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠FBC＝，DF＝2，求⊙O的半径． 解：（1）BC所在直线与⊙O相切； 理由：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∵BF平分∠DBC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∴∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠C， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠A+∠ABD＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）∵BF平分∠DBC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∴tan∠FBC＝tan∠DBF＝＝， ∵DF＝2， ∴BD＝6， 设AB＝AF＝x， ∴AD＝x﹣2， ∵AB2＝AD2+BD2， ∴x2＝（x﹣2）2+62， 解得：x＝10， ∴AB＝10， ∴⊙O的半径为5． 6．（2020•贺州）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD