专题05 三角形的外接圆与外心-2021年中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题05 三角形的外接圆与外心 1．（2020•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C． D．2 解：连接CD， ∵AB＝BC，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝60°， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CAD＝30°，AD＝8， ∴CD＝AD＝4， ∴AC＝＝＝4， 故选：B． 2．（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A．55° B．65° C．60° D．75° 解：连接CD， ∵∠A＝50°， ∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°， 故选：B． 3．（2020•荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 解：如图，作直径BD，连接CD， 由勾股定理得，BD＝＝2， 在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝， 由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC， ∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝， 故选：B． 4．（2020•嘉兴）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　） A．2 B． C． D． 解：作AM⊥BC于M，如图： 重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形． ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC， ∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°， ∴AM＝BM＝， ∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝， ∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝； 故选：C． 5．（2021•雁塔区三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA、OB、OC．若∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，AC＝4，则⊙O的直径为（　　） A． B．4 C． D．8 解：作直径CD，连接AD，如图， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝50°， ∵∠ACB＝∠AOB＝×40°＝20°， ∴∠ACD＝∠OCB﹣∠ACB＝50°﹣20°＝30°， ∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°， ∴AD＝AC＝×4＝， ∴CD＝2AD＝， 即⊙O的直径为． 故选：C． 6．（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° B．淇淇说的不对，∠A就得65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° D．两人都不对，∠A应有3个不同值 解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补． 故∠A′＝180°﹣65°＝115°． 故选：A． 7．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　） A．3π B．4π C．6π D．9π 解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴BD＝CD，AD⊥BC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴点O是△ABC外接圆的圆心， ∵OA＝3， ∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π． 故选：D． 8．（2021•九龙坡区模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝50°，则∠ABO的大小为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 解：∵∠ACB＝50°， ∴∠AOB＝100°， ∵AO＝BO， ∴∠ABO＝（180°﹣100°）÷2＝40°， 故选：B． 9．（2020•锦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝6，则的长为　2π　． 解：连接OC，OA． ∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝6， ∴的长＝＝2π， 故答案为2π． 10．（2020•黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于　π　． 解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴AB＝2，AC＝，BC＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为等腰直角三角形