专题01 垂径定理及应用-2021年中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题01 垂径定理及应用 一．垂径定理 1．（2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 解：如图所示：连接OD， ∵直径AB＝15， ∴BO＝7.5， ∵OC：OB＝3：5， ∴CO＝4.5， ∴DC＝＝6， ∴DE＝2DC＝12． 故选：C． 2．（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　） A． B．3 C．3 D．4 解：连接OD，交AC于F， ∵D是的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF， ∴∠DFE＝90°， ∵OA＝OB，AF＝CF， ∴OF＝BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在△EFD和△ECB中 ∴△EFD≌△ECB（AAS）， ∴DF＝BC， ∴OF＝DF， ∵OD＝3， ∴OF＝1， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC＝＝＝4， 故选：D． 3．（2020•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．2 解：连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5， ∴OC＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴AM＝＝＝8， ∴AB＝2AM＝16． 故选：C． 4．（2020•牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为　12或4　． 解：∵OM⊥AB， ∴AM＝BM， 若∠OAM＝30°， 则tan∠OAM＝， ∴AM＝6， ∴AB＝2AM＝12； 若∠AOM＝30°， 则tan∠AOM＝， ∴AM＝2， ∴AB＝2AM＝4． 故答案为：12或4． 5．（2020•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　1或7　cm． 解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm， 在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm， 在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm， 当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm； 当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm； 综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故答案为1或7． 6．（2020•鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝　或或　． 解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB， 则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2， 如图1， 在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2， ∴OE＝＝1， 同理可得OF＝1， ∵AB⊥CD， ∴四边形OEPF为矩形， ∴PE＝PF＝1， ∴PA＝PC＝1， ∴S△APC＝＝； 如图2， 同理：S△APC＝＝； 如图3， 同理：S△APC＝＝； 故答案为：或或． 7．（2020•甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　3　． 解：连接OC， ∵CD⊥AB， ∴CH＝DH＝CD＝×8＝4， ∵直径AB＝10， ∴OC＝5， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 故答案为：3． 8．（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　3　． 解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 二．垂径定理的应用 9．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　） A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm 解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝48cm， ∴BD＝AB＝×48＝24（cm）， ∵⊙O的直径为52cm， ∴OB＝OC＝26cm， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm）， 故选：C． 10．（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木