2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题01向量的线性运算一（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题01向量的线性运算一（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、平面向量的基本概念；二、平面向量中的共线问题；三、平面向量与三角形的四心问题． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：平面向量的基本概念】 例1．设 ， 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件的序号为 ． ＝﹣ ；② ∥ ；③ ＝2 ；④ ∥ 且 ． 【答案】③ 【解析】根据 可知， ， 是方向相同的两个向量，故答案是③． 例2．（多选）已知向量 ， 是同一平面 内的两个向量，则下列结论正确的是 A．若存在实数 ，使得 ，则 与 共线 B．若 与 共线，则存在实数 ，使得 C．若 与 不共线，则对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ， ，使得 D．若对平面 内的任一向量 ，均存在实数 ， ，使得 ，则 与 不共线 【答案】 【解析】选项B中，若向量 ， 中有且仅有一个是 ，则不存在实数 ，使得 ，故B错误，其他选项表述正确，选ACD． 例3．（多选）设 ， ， 是任意的非零向量，则下列叙述正确的有 A．若 ∥ ， ∥ ，那么 ∥ B．若 • ＝ • ，则 ＝ C．如果 与 是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使 ＝ EMBED Equation.DSMT4 D．有且只有一对实数 ， ，使 ＝ EMBED Equation.DSMT4 ＋ EMBED Equation.DSMT4 【答案】AC 【解析】选项B，可以找到反例，在等边△ABC中，取 ， ， ，则有 • ＝ • ，但是很明显 ≠ ，B错误；选项D中，若向量 ， 共线，则不适用平面向量的基本定理，故D错误，综上，本题选AC． 变式训练： 1．设 为单位向量，下列命题中：①若 为平面内的某个向量，则 ＝ EMBED Equation.DSMT4 ；②若 与 平行，则 ＝ EMBED Equation.DSMT4 ；③若 与 平行且 ＝1，则 ＝ ．假命题的个数是 ． 【答案】3 【解析】对于①，题干未说明向量 与单位向量 同向，故①说法错误；对于②，题干未说明向量 与单位向量 共线，故②说法错误；对于③，干未说明向量 与单位向量 同向，故③说法错误，综上，本题假命题的个数是3个． 2．给出下列命题：①若 ＝ ，则 ＝ ；②若A，B，C，D是不共线的四点，则 ＝ 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ；④ ＝ 的充要条件是 ＝ 且 ∥ ．其中正确命题的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】对于①，在没有 ， 方向相同条件下，无法判断 ＝ ；故①错误；对于④， ＝ 的充要条件是 ＝ 且 ， 方向相同，故④错误．故答案是②③． 3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λ ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λ ＝μ ，则 与 共线．其中错误的命题的个数为________． 【答案】3 【解析】对于①，在三角形中， 与 有公共终点，但不是共线向量，①错误；对于③，λ ＝0(λ为实数)，则λ可能为零，也有可能是 ；至于④，当λ＝μ＝0时，有λ ＝μ ，但此时 与 不一定共线，故④错误．综上，本题假命题的个数是3个． 【考点二：平面向量中的共线问题】 例1．如图所示，在△ABC的边AB、AC上分别有点M、N，且AB＝3AM，AC＝4AN，BN与CM的交点是O，直线AO与BC交于点D．设 ，则λ的值为 ． 【答案】 【解析】设 ，由C，O，M三点共线，得 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为B，C，D三点共线，所以 ，解得 ． 例2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，则 的值为 ． 【答案】 【解析】设AB中点为D，则 ，所以 ，故 EMBED Equation.DSMT4 ． 例3．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD＝2AD，AE＝2EC，点P是线段DE上的任意一点，若 ，则xy的最大值为 ． 【答案】 【解析】 ，由D，P，E三点共线，可得 ，所以 ，经检验，可以取“＝”． 变式训练： 1．如图，四边形ABCD中， ，E为线段AC上的一点，若 ，则实数 的值等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，因为A，E，C三点共线，所以 ，解得 ，选A． 2．设 ， 是平面内的一组基底，若A，B，C三点共线，且 ， (m R)，则实数m的值为