黑龙江省哈尔滨市第九中学校2021届高三下学期3月第二次模拟考试数学（理）试题

哈九中理科数学第二次模拟答案 1-12ADCDCD CBBACB 13-16 36 25 64 3 76 5 32 17.5分(1) nan  7分 1389,5 10  Tn （可以不求 nT2 ，直接求 10T ） 18. 4 分(1)证明：如图，连接 CE 交 DF 于点 M，连接 QM，∵四边形 CDEF 为正方形，∴点M为 CE的中点，又∵Q为 AE的中点，∴QM∥AC. ∵QM⊂平面 DQF，AC⊄平面 DQF， ∴AC∥平面 DQF. 8分(2)∵AB＝2BC，设 BC＝1，则 AB＝2，在△ABC中，∠ABC＝60°，由余弦定理得： AC2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC. 又∵AC⊥FB，CB∩FB＝B，CB，FB⊂平面 FBC，∴AC⊥平面 FBC.又 FC⊂平面 FBC，∴ AC⊥FC. ∵CD⊥FC，CD∩AC＝C，CD，AC⊂平面 ABCD， ∴FC⊥平面 ABCD. 如图建立空间直角坐标系 D－xyz. 在等腰梯形 ABCD中，可得 CD＝CB＝1. ∴A 3 2 ，－ 1 2 ，0 ，E(0，0，1)，B 3 2 ， 3 2 ，0 ，C(0，1，0)，F(0，1， 1)，Q 3 4 ，－ 1 4 ， 1 2 . 1 那么BC→＝ － 3 2 ，－ 1 2 ，0 ，DQ→＝ 3 4 ，－ 1 4 ， 1 2 ，DF→＝(0，1，1)． 设平面 DQF的法向量为 n＝(x，y，z)， 则有 n·DQ→＝0， n·DF→＝0， 即 3 4 x－1 4 y＋1 2 z＝0， y＋z＝0， 取 y＝1，得 n＝( 3，1，－1)． 设 BC与平面 DQF所成的角为θ，则 sinθ＝|cos〈BC→，n〉|＝ |BC→ ·n| |BC→ |·|n| ＝ 2 5 5 . ∴BC与平面 DQF所成角的正弦值为2 5 5 . 19. 4分(1)由样本频率分布直方图得样本中获一等奖的有 6人，获二等奖的有 8人，获三等奖的 有 16人，共 30人获奖，70人没有获奖， 设“抽取的一名学生获奖”为事件 A， P(A)＝ 10 3 100 30  4分(2)①由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值： μ估计值 64， 估计值为15 所有参赛学生的成绩 X近似值服从正态分布 N(64，152)． ∵μ＋σ＝79，∴P(X>79)≈1－0.6827 2 ＝0.158 65， ∴估计参赛学生中成绩超过 79分的学生数为： 0．158 65×10 00≈1 59(人)． 4分②由μ＝64，得 P(X>64)＝1 2 ， 即从所有参赛学生中随机抽取 1名学生，该生竞赛成绩在 64分以上的概率为1 2 ， ∴随机变量ξ～B 3，1 2 ，P(ξ＝0)＝C30 1 2 3 ＝ 1 8 ，P(ξ＝1)＝C31 1 2 1 2 2 ＝ 3 8 ， P(ξ＝2)＝C32 1 2 21 2 ＝ 3 8 ，P(ξ＝3)＝C33 1 2 3 ＝ 1 8 . ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 2 ∴E(ξ)＝0×1 8 ＋1×3 8 ＋2×3 8 ＋3×1 8 ＝ 3 2 . 20. 5分(1)（解答过程略） 由定义得轨迹 C的方程 1 4 2 2  yx 7分 21.3分(1) x ey 4  4 分(2)由 h(x)＝a lnx＋2 x －e x－1 x2 ，可得 h′(x)＝（2－x）（e x－1－ax） x3 ，记 H(x)＝ex－1－ax， x>0. 方法一：由题意知，y＝H(x)在(0，2)内存在两个零点． ∵H′(x)＝ex－1－a， ∴当 a≤0时，H′(x)>0，H(x)在(0，2)上单调递增，H(x)至多有一个零点，不合题意． 3 当 a>0时，由 H′(x)＝0，得 x＝1＋lna，由 1＋lna>0，得 a>1 e . ①若 1＋lna<2且 H(2)>0，即1 e <a<e 2 ，则 H(x)在(0，1＋lna)上单调递减，在(1＋lna，2)上单调 递增， 则 H(x)min＝H(1＋lna)＝－alna，当 1 e <a≤1时，H(x)min＝－alna≥0，不合题意，舍去．当 1<a< e 2 时，H(x)min＝－alna<0，又 h(2)>0，且 h(x)>0， 从而 H(x)在(0，1＋lna)和(1＋lna，2)上各有一个零点． ∴y＝H(x)在(0，2)上存在两个零点． ②若 1＋lna<2且 H(2)≤0，即e 2 ≤a<e，则 H(x)在(0，1＋lna)上有一个零点，而在(1＋lna，2) 上没有零点，舍去． ③若 1＋lna≥2，即 a≥e，则 H(x)在(0，2)上单调递减，H(x)