专题19 以形助数“数题形解”-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题19 以形助数“数题形解” 【压轴综述】 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． （2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． （3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解； （3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证． 本专题通过例题重点说明说明“以形助数，数题形解”这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】 例1.(2020·天津高考·T9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　) A.(-∞,-)∪(2,+∞) B.(-∞,-)∪(0,2) C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 【解析】选D.注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx-2|=(x≠0)恰有3个实根即可,令h(x)=,即y=|kx-2|与h(x)=(x≠0)的图象有3个不同的交点.因为h(x)==当k=0时,此时y=2,如图1,y=2与h(x)=有1个交点,不满足题意; 当k<0时,如图2,此时y=|kx-2|与h(x)=恒有3个不同的交点,满足题意; 当k>0时,如图3,当y=kx-2与y=x2相切时,联立方程得x2-kx+2=0, 令Δ=0得k2-8=0,解得k=2(负值舍去),所以k>2.综上,k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞). 例2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若·=1,则点C的轨迹为 (　　) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 【解析】选A.设AB=2a,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则:A,B,设C,可得:=,=, 从而:·=+y2,结合题意可得:+y2=1,整理可得:x2+y2=a2+1,即点C的轨迹是以AB中点为圆心,为半径的圆. 例3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 (　　) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0), =(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标 为-1,所以-1<x<3,所以-2<·<6. 例4．（2021·陕西西安市西光中学）已知点 在抛物线 上， 是抛物线的焦点，点 为直线 上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则 的最小值为（ ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，知抛物线 的焦点 ，直线 是抛物线 的准线， 点 在抛物线 上，点 为直线 上的动点，设 关于直线 的对称点 ，作图如下，利用对称性质知： ，则 即点 在 位置时， 的值最小，等于 ，利用两点之间距离知 ，则 的最小值为 例5．（2021·四川遂宁市·高三）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ．当 三点不共线时，