考点06 三角函数模型的简单应用-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点06 三角函数模型的简单应用 一、单选题（共10小题） 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ（﹣π＜θ＜π）与时间t（s）满足函数关系式θ＝sin（2t+），则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是（　　） A．， B．2， C．，π D．2，π 【答案】A 【分析】此题是简单题，由题意直接代入计算即可得到答案． 【解答】解：由题意，当t＝0时，θ＝sin（）＝； 由函数的解析式可知，函数的周期为，故单摆频率为 故选：A． 【知识点】三角函数模型的应用 2.（2020春•河西区校级月考）海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15nmile的C处．现甲船以35nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25nmile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为（　　） A．h B．1h C．h D．2h 【答案】B 【分析】利用方向坐标画出图形，结合图形利用余弦定理求出BC的值，再计算甲船到达B处需要的时间． 【解答】解：如图所示， △OBC中，∠BOC＝30°+90°＝120°，OC＝15，OB＝25； 所以BC2＝152+252﹣2×15×25×cos120°＝1225， BC＝35， 又甲船的速度为35nmile/h， 所以甲船到达B处需要的时间为35÷35＝1（h）． 故选：B． 【知识点】三角函数模型的应用 3.（2020秋•湖北月考）为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究．当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北21.7°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北81.7°方向，山顶T处的仰角为60°．同学们建立了如图模型，则山高OT为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设山高为h米，利用仰角的正切表示出AO、BO，在△AOB中利用余弦定理列方程求得h的值． 【解答】解：设山OT的高度为h，在Rt△AOT中，∠TAO＝30°，AO＝＝h， 在Rt△BOT中，∠TBO＝60°，BO＝＝h， 在△AOB中，∠AOB＝81.7°﹣21.7°＝60°， 由余弦定理得，AB2＝AO2+BO2﹣2•AO•BO•cos60°； 即1402＝3h2+h2﹣2×h×h×， 化简得h2＝×1402； 又h＞0， 所以解得h＝140×＝20； 即山OT的高度为20（米）． 故选：C． 【知识点】解三角形、三角函数模型的应用 4.（2020•静安区一模）某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（　　） A．265米 B．279米 C．292米 D．306米 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度． 【解答】解：如图所示， △ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°； 由正弦定理得，＝， 所以AC＝； Rt△ACD中，∠CAD＝18°， 所以CD＝AC•tan18°＝×tan18°＝×0.3249≈292（米）； 所以该塔的高度约为292米． 故选：C． 【知识点】三角函数模型的应用 5.（2020•浦东新区一模）动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（　　） A．[0，3] B．[3，6] C．[6，9] D．[9，12] 【答案】D 【分析】由已知求出动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数为：y＝sin（x+）结合正弦函数的单调性，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间． 【解答】解：∵动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，故A＝1， 12秒旋转一周，故T＝12，ω＝， 时间t＝0时，点A的坐标是（，），故φ＝； 故动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数为：y＝sin（x+）， 由﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z得：x∈[﹣2+12k，2+12k]，k∈Z， 即函数y＝sin（x+）的单调增区间为[﹣4+12k，2+12k]，k∈Z， ∴k＝0，[﹣4.2]， k＝1，[8，14]． 故选：D． 【知识点】三角函数模型的应用 6.（2020•上海一模）某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx+）+3.24（ω＞0）