专题04 期中考前必做30题（解答题提升版）-2020-2021学年八年级数学下学期期中专项复习（北师大版）

专题04 期中考前必做30题（解答题提升版） 1．（2020·罗定市黎少中学八年级月考）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长． 【答案】9 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，再在Rt△ACD中根据勾股定理求出BD的长即可． 【详解】解：在△ABD中，AB=13，AD=12， BD=5， ∴AD2＋BD2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， 在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 2．（2019·贵阳市清镇养正学校八年级期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c．且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，这个三角形是直角三角形吗？请说出理由． 【答案】三角形是直角三角形，理由见详解 【分析】利用完全平方公式把等式写成(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0，再根据偶数次幂的非负性，求出a，b，c的值，最后根据勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2+b2+c2-10a-24b-26c+338=0，即：a2-10a+25+b2-24b +144+c2-26c+169=0， ∴(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0，∴a=5，b=12，c=13， ∵a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形． 【点睛】本题主要考查完全平方公式以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC， 的垂直平分线交 于点 ． （1）已知 ，求 的度数； （2）已知 的周长为 ， ，求 与 的长． 【答案】（1）∠CBE=30°．（2）BC=3cm，AB=5cm． 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理可以推出∠ABC=70°，根据垂直平分线的性质即可推出∠ABE=∠A=40°，便可推出∠CBE的度数； （2）根据题意可知AC+BC=8，然后根据AC-BC=2，即可得AC、BC的长度． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°． ∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°， ∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=70°-40°=30°． （2）∵△BCE的周长为8cm，∴BE+EC+BC=8cm． ∵AE=BE，∴AE+EC+BC=8cm， 即AC+BC=8cm． ∵AC-BC=2cm，∴AC=5cm，BC=3cm． ∵AB=AC，∴AB=5cm． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．（1）能利用等边对等角求角度是解题关键；（2）能得出AC+BC=8cm是解题关键． 4．（2020·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）根据图片回答下列问题． (1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC． (2) 如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC． (3)如图③，四边形ABCD中，∠B=45°∠C=135°，DB=DC= ，则AB−AC=________． 【答案】（1）=；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用HL判断出△ADC≌△ADC，即可得出结论； （2）先构造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判断出DE=DB，即可得出结论； （3）利用（2）结论得出DE=DB，再判断出∠BDE=90°，利用勾股定理求出BE即可得出结论． 【详解】解：证明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠C=90°， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△ABD（AAS），∴BD=CD； （2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE， ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵AD=AD，AC=AE，∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴DC=DE，∠AED=∠C，∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°， ∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC； （3）如图③，连接AD，在AB上取一点E使AE=AC， 同（2）的方法得，AE=AC，CD=DE=BD=2， ∴∠DEB=∠B=45°，∴∠BDE=90°， 根据勾股定理得，BE= ， ∴AB-AC=BE= ，故答案为： ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查