浙江省精诚联盟2020-2021学年高二3月联考数学试题（图片版）

$ 第 1 页，共 10 页 高二数学学科 答案 一、单项选择题（本大题共 10小题，共 38.0分） 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】C 7.【答案】D 8.【答案】C 【解析】解：设𝑃(𝑚, 𝑛)，由题意可知 P 在双曲线的右支上，可得𝑚 > 𝑎， 由点 P 在双曲线 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 0, 𝑏 > 0)上， 可得 𝑚2 𝑎2 − 𝑛2 𝑏2 = 1，即有𝑛2 = 𝑏2 𝑎2 𝑚2 − 𝑏2， 则|𝑃𝐴| = √(𝑚 − 2𝑎)2 + 𝑛2 = √𝑚2 − 4𝑎𝑚 + 4𝑎2 + 𝑏2 𝑎2 𝑚2 − 𝑏2 = √ 𝑐2 𝑎2 𝑚2 − 4𝑎𝑚 + 4𝑎2 − 𝑏2， 当|𝑃𝐴|取得最小值时，𝑥 = − −4𝑎 2𝑐2 𝑎2 = 2𝑎3 𝑐2 ， 此时 P 不在顶点，可得 2𝑎3 𝑐2 > 𝑎， 即为𝑐2 < 2𝑎2，即𝑒 = 𝑐 𝑎 < √2， 又𝑒 > 1，可得1 < 𝑒 < √2， 故选：C． 设𝑃(𝑚, 𝑛)，由题意可知 P 在双曲线的右支上，可得𝑚 > 𝑎，由 P 满足双曲线的方程和两点的距离公 式，结合配方和二次函数的最值求法，解不等式，结合离心率的范围，可得所求范围． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 9.【答案】D 【解析】解：由题意知△ 𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形， 因为 M 为 AC 的中点，所以𝐵𝑀 ⊥ 𝐴𝐶． 又𝑆𝐴 ⊥平面 ABC，所以𝑆𝐴 ⊥ 𝐵𝑀，所以𝐵𝑀 ⊥平面 SAC， 所以𝐵𝑀 ⊥ 𝑀𝑁， 故△ 𝐵𝑀𝑁的面积𝑆 = 1 2 𝐵𝑀 ⋅ 𝑀𝑁． 由题意知𝐴𝐶 = 4√2，所以𝐵𝑀 = 1 2 𝐴𝐶 = 2√2，所以𝑆 = 第 2 页，共 10 页 √2𝑀𝑁， 当 MN 最小时，△ 𝐵𝑀𝑁的面积最小，此时𝑀𝑁 ⊥ 𝑆𝐶． 当𝑀𝑁 ⊥ 𝑆𝐶时，过 S 作𝑆𝐸 ⊥ 𝑆𝐶，交 CA 的延长线于点 E，则𝑆𝐸//𝑀𝑁， 连接 BE，则∠𝐵𝑆𝐸为异面直线 SB 与 MN 所成的角或其补角． 因为𝑆𝐴 ⊥平面 ABC，所以∠𝑆𝐵𝐴为直线 SB 与平面 ABC 所成的角， 所以∠𝑆𝐵𝐴 = 45°，所以𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 4，所以𝑆𝐵 = 4√2，𝑆𝐶 = 4√3． 又tan∠𝑆𝐶𝐴 = 𝑆𝐴 𝐴𝐶 = 𝑆𝐸 𝑆𝐶 ，所以𝑆𝐸 = 2√6，所以𝐴𝐸 = 2√2，𝑀𝐸 = 4√2， 在𝑅𝑡 △ 𝐸𝑀𝐵中，由题意知𝐵𝐸 = 2√10， 所以由余弦定理得： cos∠𝐵𝑆𝐸 = 𝑆𝐵2+𝑆𝐸2−𝐵𝐸2 2𝑆𝐵⋅𝑆𝐸 = (4√2)2+(2√6)2−(2√10)2 2×4√2×2√6 = √3 6 ， 故当△ 𝐵𝑀𝑁的面积最小时，异面直线 SB 与 MN 所成角的余弦值为√ 3 6 ． 故选：D． 推导出△ 𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，𝐵𝑀 ⊥ 𝐴𝐶，𝑆𝐴 ⊥ 𝐵𝑀，从而𝐵𝑀 ⊥平面 SAC，𝐵𝑀 ⊥ 𝑀𝑁，当 MN 最小时，△ 𝐵𝑀𝑁的面积最小，此时𝑀𝑁 ⊥ 𝑆𝐶，过 S 作𝑆𝐸 ⊥ 𝑆𝐶，交 CA 的延长线于点 E，则𝑆𝐸//𝑀𝑁， 连接 BE，则∠𝐵𝑆𝐸为异面直线 SB 与 MN 所成的角或其补角．由此能求出异面直线 SB 与 MN 所成角 的余弦值． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题． 10.【答案】B 【解析】解：设∠𝐶𝐵𝑂 = 𝜃，0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2 ， ∵等边△ 𝐴𝐵𝐶的边长为 2， ∴ 𝐵(2𝑐𝑜𝑠𝜃, 0)，𝐴(2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠( 2𝜋 3 − 𝜃),2𝑠𝑖𝑛( 2𝜋 3 − 𝜃)) = (𝑐𝑜𝑠𝜃 + √3𝑠𝑖𝑛𝜃, √3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃)， ∵ 𝑀为 AB 中点， ∴ ( 3 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 + √3 2 𝑠𝑖𝑛𝜃, √3 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃)， ∴ 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗