专题03 图形的平移与旋转【压轴题专项训练】-2020-2021学年八年级数学下学期期中专项复习（北师大版）

专题03 图形的平移与旋转【压轴题专项训练】 一、单选题 1．（2019·沈阳市第七中学文艺路学校八年级月考）如图， 为等腰三角形，顶点 的坐标为 ，底边 在 轴上．将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度后得 ，点 的对应点 在 轴上，那么点 的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点O1作O1D⊥A1B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO1=OB，∠A1BO1=∠ABO，然后解直角三角形求出O1D、BD，再求出OD，然后写出点O1的坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O1作O1D⊥A1B于D， ∵A（2， ），∴OC=BC=2，AC= ， 由勾股定理得，OA= = =3， ∵△AOB为等腰三角形，OB是底边， ∴OB=2OC=2×2=4， 由旋转的性质得，BO1=OB=4，∠A1BO1=∠ABO， ∴BD=BO1×cos∠ABC=4× = ， ∴OD=OB+BD=4+ = ， ∴点O1的横坐标为 . 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 2．（2020·江阴市夏港中学八年级月考）如图， 是边长为8的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】如图，取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质和角的和差可得CD＝CG，∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后即可利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，进而可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时EG最短，再根据30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取AC的中点G，连接EG， ∵△ABC是等边三角形， AD是△ABC的对称轴， ∴AB=BC=AC=8，∠ACB=60°， ∴CD＝ BC=4=CG， ∵旋转角为60°， ∴∠ECD+∠DCF＝60°， 又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°， ∴∠DCF＝∠GCE， 又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF， 在△DCF和△GCE中， ， ∴△DCF≌△GCE（SAS）， ∴DF＝EG， 根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短， 此时∵∠CAD＝ ×60°＝30°，AG＝ AC＝ ×8＝4， ∴EG＝ AG＝ ×4＝2， ∴DF的最小值是2． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短以及30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 3．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级月考）在如图所示的平面直角坐标系中，△ 是边长为2的等边三角形，作△ 与△ 关于点 成中心对称，再作△ 与△ 关于点 成中心对称，如此作下去，则△ （n是正整数）的顶点 的坐标是（ ） A．(4n-1, ) B．(2n-1, ) C．(4n+1, ) D．(2n+1, ) 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可求得点A1、B1的坐标，然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标；最后总结出An的坐标的规律，从而可得答案． 【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1， ），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2的坐标是（3，﹣ ），点B2的坐标是（4，0）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3的坐标是（5， ），点B3的坐标是（6，0）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4的坐标是（7，﹣ ）， ……， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣ ， ∴顶点A2n+1的纵坐标是 ， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1， ）， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中心对称的性质和点的坐标规律探求，属于常考题型，具有一定的难度，熟练掌握上述知识、找到规律是解题的关键． 4．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为