精做05 解析几何-备战2021年高考数学（文）大题精做

精做05解析几何 一、圆锥曲线的方程 【例1】（2020·黑龙江高三学业考试）设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程. 【详解】 由题可知：椭圆的焦点 又双曲线与椭圆有相同的焦点 所以双曲线的焦点为 由双曲线与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4 所以点 则 所以，又 所以双曲线方程为： (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． (2) 求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算． (3) 求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论． 【对点训练1】（2021·全国高三专题练习）已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且． （1）求的值； （2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程． 二、直线与圆锥曲线 (一)弦中点与点差法的应用 【例2】（2021·山东青岛市·高三一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，为中点，直线，分别与圆：相切于点，，求的最小值． 【详解】 解：（1）直线的方程为 到直线的距离为 而，，∴，椭圆的标准方程为． （2）设，， ， ∴ ，∴， ∴， ∴ 令，∴ ∴，∴． 在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B两点在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m(或2x)，y1＋y2＝2n(或2y)，从而求出斜率kAB＝，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程． 【对点训练2】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（文））已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足.记的轨迹为曲线. （1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程； （2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. (二)直线与圆锥曲线位置关系及弦长问题 【例3】（2021·浙江高三专题练习）是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点，求当 时，的最小值. 【详解】 （1）抛物线的焦点，设 由题意知：圆心纵坐标值为OF的一半，即，则点到抛物线的准线的距离为，解得， ∴抛物线的方程为. （2）由，得：，设， ∵， ∴，则， 由题意知：，可得， ∴由，得，设，而， ∴，则， ∴，令，则，则， 令，则 ∴在上为增函数，故时，的最小值为. (1)直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． 若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． (2) 解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； ③写出韦达定理； ④将所求问题或题中关系转化为形式； ⑤代入韦达定理求解. (3) 圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 【对点训练3】（2021·山东济宁市·高三一模）已知椭圆：的离心率为，椭