第5讲函数的最值问题-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—最值 一、基础知识 1.最值的定义；2.求最值的常见方法 二、典型例题 例1 求函数的最小值。 例2 若实数满足，求的最小值。 例3 已知，成立，求的最小值。 例4 设是不全为0的实数，求的最大值。 三、跟踪训练 1.函数在区间上的最大值为2，则的值为_________ 2.已知求的最小值。 3.若实数满足，求的最大值。 4.求函数的最小值。 5.设是不全为0的实数，求的最大值和最小值。 $ 高一数学培优课—最值 一、基础知识 1.最值的定义；2.求最值的常见方法 二、典型例题 例1 求函数的最小值。 解：，可以推出函数的定义域为。 （1）当时，是减函数，也是减函数； 是减函数 （2）当时，是增函数，也是增函数； 是增函数。 综上所述，。 的最小值是2 例2 若实数满足，求的最小值。 解：将分别记为，则均大于0. 由条件可知，故。 因此结合均值不等式可得，。 当，即时，的最小值为（此时相应的X值为，符合要求） 由于，故的最小值为 例3 已知，成立，求的最小值。 解：由条件知，由题意得，解得。 当且仅当时等号成立，所以的最小值为8. 例4 设是不全为0的实数，求的最大值。 解：引入参量，并运用平均值不等式，则： 令，解得。 故 综上所述，的最大值为。 三、跟踪训练 1.函数在区间上的最大值为2，则的值为_________ 解：令，的最大值在或取得。 当时，，即； 当时，，即（舍去） 综上所述，。 2.已知求的最小值。 解： 当且仅当，即时取得等号。 所以， 3.若实数满足，求的最大值。 解：，当且仅当时，即时取等。 由，得。 故 综上所述，的最大值为 4.求函数的最小值。 解： 因此，函数的最小值为。 5.设是不全为0的实数，求的最大值和最小值。 解：， 不全为0， （时，取等） （时，取等） $