天津市第八中学2020-2021学年高三下学期第一次统练数学试卷

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 天津市第八中学2020—2021学年第二学期高三年级数学学科 第一次练习 启用前保密等级 时间：120 分钟；满分150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共9小题，共45分） 1. 设集合1，2，3，，3，，，则 A. B. C. 2， D. 2，3， 2. 设，则“”是“”的      A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知奇函数在R上是增函数， 若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为   ． A.   B. C. D. 4. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 5. 将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈，则成绩为组应抽取的人数为 A. 60 B. 50 C. 40 D. 20 6. 设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为 A. B. C. D. 7. 已知函数给出下列结论： 的最小正周期为； 是的最大值； 把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 8. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于 A. B. C. D. 9. 已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. i是虚数单位，复数          ． 11. 在的展开式中，的系数是______． 12. 已知直线和圆相交于A，B两点．若，则r的值为______． 13. 已知正数x，y满足，则的最小值为______ ． 14. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M，点P 是MD 的中点．若，，且，则 ________________． 15. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是      ；若变量为取出3个球中红球的个数，则的数学期望为      。 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知． Ⅰ求角B的大小； Ⅱ设，，求b和的值． 17. 如图，且，，且，且，平面ABCD，． 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE； 求二面角的正弦值； 若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长． 18. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若为原点，且，求直线PB的斜率． 19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ求数列的前n项和 20. 设函数，． 求的单调区间和极值； 证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 天津市第八中学2020—2021学年第二学期高三年级数学学科第一次练习 答案和解析 【答案】 1. D 2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A 9. B 10.    11. 10   12. 5   13.    14.    15.    16.解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得， 又， ， 即， ， 又，． Ⅱ在中，，，， 由余弦定理得， 由，得， ， ， ， ， ．   17. Ⅰ证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 可得0，，0，，2，，2，， 0，，1，，0，，，0，． 设为平面CDE的法向量， 则，不妨令，可得； 又，可得． 又直线平面CDE， 平面CDE； Ⅱ解：依题意，可得，，． 设为平面BCE的法向量， 则，不妨令，可得． 设为平面BCF的法向量， 则，不妨令，可得． 因此有，于是． 二面角的正弦值为； Ⅲ解：设线段DP的长为h，，则点P的坐标为0，， 可得，而为平面ADG