专题04 平面展开-最短路径问题-2021年中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题04 平面展开-最短路径问题 一．平面展开-最短路径问题 1．（2020•东阳市模拟）半圆柱底面直径BC是高AB的两倍，甲虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路径从B经E到D（E是上底面半圆中点），则甲虫爬行过程中离下底面的高度h与爬行t之间的关系用图象表示最准确的是（　　） A． B． C． D． 解：平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是B→E，然后在圆柱的上底面上，沿线段DE行走即可，此时甲虫离下底面的高度h不变． 由题意AE＞AB，所以在甲虫到达E之前，离下底面的高度h是逐渐升高，图形比较缓， 故选：D． 2．（2020•沈河区模拟）如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C'，已知AB＝1cm，则爬行路线最短为（　　） A．3cm B． C． D． 解：如图所示： 蚂蚁爬行的路径＝＝， 故选：C． 3．（2020•玄武区二模）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C． 故选：B． 4．（2020•市南区二模）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm 解：如图1， ∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm， ∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16， ∴MN＝＝20； 如图2， ∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm， ∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10， ∴MN＝＝＝2． ∵20＜2， ∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20． 故选：A． 5．（2020•莘县三模）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（　　）m． A．3 B．3 C．3 D．4 解：圆锥的底面周长是6π，则6π＝， ∴n＝180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中AP＝3，AB＝6，∠BAP＝90度． ∴在圆锥侧面展开图中BP＝m． 故小猫经过的最短距离是3m． 故选：C． 6．（2020•黄岛区一模）如图，有一棱长为4dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为　4　dm． 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短路线． 展开后由勾股定理得：AD2＝82+122， 故AD＝4dm． 故答案为4． 7．（2020•北海模拟）如图所示的圆锥底面半径OA＝2cm，高PO＝4cm，一只蚂蚁由A点出发绕侧面一周后回到A点处，则它爬行的最短路程为　6cm　． 解：如图所示： ∵OA＝2cm，PO＝4cm， ∴AP＝＝＝6cm， ＝2π•2＝4π， 设∠APA′＝n°，则＝4π，解得n＝120°， ∴∠APD＝60°， ∴AD＝AP•sin60°＝6×＝3cm， ∴AA′＝2AD＝6cm． 故答案为：6cm． 8．（2020•市南区二模）棱长分别为7cm，6cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P＝E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是　cm　． 解：如图，有两种展开方法： 方法一：PA＝＝cm， 方法二：PA＝＝＝cm． 故需要爬行的最短距离是cm． 故答案为：cm． 9．（2020•景泰县二模）如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为　15　cm．（π取3） 解：圆柱展开图为长方形， 则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长， 由勾股定理得AB＝＝＝＝15cm． 故蚂蚁经过的最短距离为15cm． 10．（2020•广饶县一模）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为　　． 解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π， 以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则＝6π， 解得：n＝180，