专题03 轴对称-最短距离问题-2021年中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题03 轴对称-最短距离问题 1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　） A．2 B．2 C．6 D．3 解：设C（m，0）， ∵CD＝2， ∴D（m+2，0）， ∵A（0，2），B（0，4）， ∴AC+BD＝+， ∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小， 如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小， ∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2） P′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2， ∴AC+BD的最小值为2． 故选：B． 2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（　　） A．﹣1 B．+1 C． D．+1 解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图： ∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM， ∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°， ∵E是AD的中点， ∴DE＝AD＝×2＝1， ∵点E与点E'关于DC对称， ∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'， ∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3， 在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝， ∴线段PE+PM的最小值为： PE+PM ＝PE'+PM ＝ME' ＝OE'﹣OM ＝﹣1． 故选：A． 3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BF＝DF， ∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°， ∵点E在AB上且BE＝1， ∴AE＝3， ∴DE＝， ∴△BFE的周长＝5+1＝6， 故选：B． 4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　） A． B． C．1 D． 解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小． ∵CD⊥OB， ∴∠DCB＝90°， 又∠AOB＝90°， ∴∠DCB＝∠AOB， ∴CD∥AO ∴ ∵OC＝2，OB＝4， ∴BC＝2， ∴，解得，CD＝； ∵CD∥AO， ∴＝，即＝，解得，PO＝ 故选：B． 5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为　18　． 解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM， ∵EF垂直平分线段AC， ∴MA＝MC， ∴DM+MC＝AM+MD， ∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小， ∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝10，AH＝＝12， ∴DH＝CH﹣CD＝5， ∴AD＝＝＝13， ∴DM+MC的最小值为13， ∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18， 故答案为18． 6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　15　． 解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H． ∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°， ∴∠ABA′＝60°， ∴△ABA′是等边三角形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10， 在Rt△ABD中，AB＝＝10， ∵A′H⊥AB， ∴AH＝HB＝5， ∴A′H＝AH＝15， ∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H， ∴AM+MN≥15， ∴AM+MN的最小值为15． 故答案为15． 7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是　　． 解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点A与点C关于BD对称， ∴AP＝CP， ∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长， ∵正方形ABCD的