专题02 函数与图形面积-2021年中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题02 函数与图形面积 一．一次函数与图形面积 1．（2020•龙湾区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+3（k＜0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，以AB为边在直线左下方作菱形ABCD，且点C在x轴负半轴上．点O关于直线AB的对称点为E，以AE，BE为邻边构造矩形AEBF，AF交x轴的正半轴于点G． （1）求证：AG＝BG； （2）当k＝﹣． ①求AG的长； ②在菱形ABCD的边上取一点P，在矩形AEBF的边上取一点Q，若以P，Q，B，G为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的P点的坐标； （3）连接OF，记△AEB的面积为S1，△OPG的面积为S2，若，求k的值． 解：（1）证明：∵四边形AEBF是矩形， ∴AF∥BE， ∴∠GAB＝∠ABE， 由轴对称可得：∠ABE＝∠GBA， ∴∠GAB＝∠GBA， ∴AG＝BG． （2）当时，A（0，3），B（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4． ①设OG＝a，则BG＝AG＝4﹣a， 由勾股定理可得：32+a2＝（4﹣a）2， 解得：， ∴AG＝． ②Ⅰ．如图1，当点P与点A重合时，显然满足条件，此时P（0，3）． Ⅱ．如图2，当点Q与点A重合时，显然满足条件，此时P（，3）． Ⅲ．如图3，当P在CD上，Q在AF上时， ∵点D（﹣5，3），C（﹣1，0），A（0，3），G（，0）， ∴直线CD的解析式为：， 直线AG的解析式为：， 设yP＝yQ＝a，则P（，a），Q（，a）， ∴﹣（﹣1﹣）＝， 解得：， ∴点P的坐标为（，）． Ⅳ．如图4，当点P在AB上，点Q在BF上时， 过点P作PM⊥OB于M，过点Q作QN⊥OB于N， 由题意得：四边形BPGQ是平行四边形 ∴BP∥GQ，BP＝GQ， ∴∠PBM＝∠BGQ，∠BAF＝∠QGF，∠AGP＝∠F＝90°＝∠BMP＝∠GNQ， ∵∠BAF＝∠ABE＝∠GBA， ∴∠QGF＝∠PBM＝∠BGQ， ∴△GFQ≌△GNQ≌△BPM（AAS）， ∴BM＝GN＝OG＝， ∴OM＝， 将代入中， 得， 即PM＝， ∴点P的坐标为（，）． 综上所述，点P的坐标为（0，3）或（，3）或（，）或（，）． （3）如图5，∵四边形AEBF是矩形，点E和点O关于直线AB对称， ∴S△AOB＝S△ABF＝S1， ∴S△AOG＝S△BFG，设S△AOG为S2， ∵＝， ∴设S1＝40m，则S2＝9m， 由＝＝，可得＝， 解得：S＝15m， ∴＝＝， ∵OA＝3， ∴由勾股定理可得：OG＝，BG＝AG＝， ∴OB＝6． ∴B（6，0） 将B（6，0）代入y＝kx+3中，得：． 2．（2020•新昌县校级模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，点B．点P在线段AB上，过点P分别作x轴，y轴的垂线段PC，PD，垂足为C，D． （1）若k＝﹣1，如图． ①求矩形OCPD的周长． ②求矩形OCPD面积的最大值． （2）若矩形OCPD的面积最大值为6，求k的值． 解：（1）当k＝﹣1时，y＝﹣x+6， 设点P（x，﹣x+6）， ①矩形OCPD的周长＝2PC+2PD＝2x+2（6﹣x）＝12； ②OCPD面积＝PC•PD＝x（﹣x+6）＝﹣（x﹣3）2+9≤9， 故矩形OCPD面积的最大值为9； （2）①当k＜0时，如题干图所示， 设点P（x，kx+6）， 设矩形OCPD的面积为y，则y＝PC•PD＝x（kx+6）＝kx2+6x， ∵k＜0，故y有最大值， 当x＝﹣时，y的最大值为k（﹣）2+6（﹣）＝6， 解得k＝﹣； ②当k＞0时， 同理可得k＝， 故k的值为． 3．（2020•河北模拟）如图，直线l1的解析式为y＝x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A、B，直线l1与l2交于点C． （1）求直线l2的解析式； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设l2的解析式是y＝kx+b， 根据题意得：，解得， 则函数的解析式是：y＝﹣x+4； （2）在y＝x+1中令y＝0， 即y＝x+1＝0，解得：x＝﹣2， 则D的坐标是（﹣2，0）． 解方程组，解得， 则C的坐标是（2，2）． 则S△ADC＝×AD×yC＝×6×2＝6； （3）存在，理由： 设C（2，2）关于x轴的对称点C′（2，﹣2）， 连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点， △BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小， 设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则，解得：， 则直线的解析式是y＝﹣x+， 令y＝0，则y＝﹣x+＝0，解得：x＝． 则E的坐标是（，0）． 4．（2020•红桥区三模）在平面直角坐