专题2 培优点10 平面向量“奔驰定理”-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

培优点10　平面向量“奔驰定理” 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 例　(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 答案　B 解析　由＝，得－＝(－)， 整理得＝＋＝＋， 由＝，得＝(－)， 整理得＝－，∴－＝＋， 整理得4＋6＋9＝0， ∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. (2)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5， ∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB， 又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC， ∴＝－＝. (3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，＝，＝n，则n的值为________． 答案　 解析　因为O是重心，所以＋＋＝0，即＝－－， ＝⇒－＝(－)⇒＝＋＝ －－， ＝n⇒－＝n(－) ⇒＝n＋(1－n)， 因为P，O，Q三点共线，所以∥， 所以－(1－n)＝－n，解得n＝. “奔驰定理”与三角形“四心”： 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： (1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0. (2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0. (3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0. 备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对． (4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 1．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　) A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3 答案　C 解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3. ∴S△ABC∶S△APC＝3∶1. 2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　A 解析　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋，故选A. 3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________． 答案　 解析　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0， 即＝2x＋2y， 平方得2＝4x22＋4y22＋8xy||·||·cos∠BPC， 又因为点P是△ABC的外心， 所以||＝||＝||， 且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝， (x＋y)2＝＋xy≤＋2， 解得0<x＋y≤， 当且仅当x＝y＝时取等号． 所以(x＋y)max＝. $