专题2 培优点8 向量共线定理的应用-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

培优点8　向量共线定理的应用 向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁． 例1　(1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．3∶4 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶2 答案　C 解析　∵|3－－|＝0，∴3－－＝0，∴＋＝3. 设BC的中点为G，则＋＝2， ∴3＝2，即＝， ∴点M在线段AG上，且＝. ∴＝＝，易得＝＝， ∴＝·＝×＝， 即△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. (2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案　 解析　方法一　∵B，P，N三点共线， ∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ(λ>0)， ∴－＝λ(－)， ∵λ>0，∴＝＋. ∵＝，＝m＋， ∴＝m＋， ∴解得 方法二　∵＝，＝m＋， ∴＝m＋. ∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝. 例2　(1)(2020·成都质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　如图，设＝λ(λ>0)， 又＝＋＝＋， ∴＝λ＋λ＝λ＋λ. 又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1， ∴λ＝，∴＝＋. (2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________． 答案　 解析　由D为BC的中点知，＝＋， 又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点， 故＝＝＋， ∵M，E，N三点共线，∴＋＝1， ∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋ ≥2＋＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． ∴4x＋y的最小值为. (1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置． 1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y， ∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，① 同理，＝2x＋y， ∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，② 由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝. 2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A的平分线与AB边上的中线交于点O.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为________． 答案　 解析　∵AO为△ABC的角平分线， ∴存在实数λ(λ≠0)，使＝λ， 即＝λ＋λ， ∴① 设AB边上的中线与AB交于点D， 则＝2x＋y. ∵C，O，D三点共线，∴2x＋y＝1.② 由①②得x＝，y＝，∴x＋y＝. 3.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________． 答案　 解析　设＝a，＝b，则＝＋＋＝－a＋b＋b＝－a＋b. 设＝λ，则＝＋＝a＋λb. 因为＝ma＋nb，所以1－λ＝m，λ＝n， 消去λ得m＋n＝1， ＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝， 当且仅当m＝4－2，n＝－4时等号成立． 所以＋的最小值为. $