专题01 三角形的证明【压轴题专项训练】-2020-2021学年八年级数学下学期期中专项复习（北师大版）

专题01 三角形的证明【压轴题专项训练】 一、单选题 1．（2020·合肥市第四十五中学八年级月考）已知，如图，等腰 ， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点， ，下列结论：① 平分 ；② ；③ 是等边三角形；④ ，其中正确的序号是（ ） A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③ 【答案】A 【分析】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论； ②因为点 是线段 上一点，所以 不一定是 的角平分线，可作判断； ③证明 且 ，即可证得 是等边三角形； ④首先证明 ，则 ， ． 【详解】解：① ， ， ； ， ， ， 平分 ，故①正确； ②由①知： ， ， 点 是线段 上一点， 与 不一定相等，则 与 不一定相等， 故②不正确； ③ ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 故③正确； ④如图，在 上截取 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ； 故④正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 2．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图， 垂直于直线 于点 ， ，点 是直线 上一动点，以 为边向上作等边 ，连接 ，则 的最小值为（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】以AC为边在AC右侧作等边三角形ACE，连接ME，过A作AH⊥ME于H，通过证明△BCA≌△MCE，得到∠MEC=∠BAC=90°，即∠AEM=30°，从而知道点M的运动轨迹，AH长即为AM的最小值． 【详解】解：如图，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACE，连接ME，过A作AH⊥ME于H， 由题可知，BC=MC，AC=EC，∠MCB=∠ACE=∠AEC=60°， ∴∠BCA=∠MCE， 在△BCA和△MCE中， ∴△BCA≌△MCE，∴∠MEC=∠BAC=90°，∴∠AEM=90°-60°=30°， 因此点M在直线ME上运动，当点M运动到点H时，AM最短， ∵AE=4，∴AH=2，∴ 的最小值为2，故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等的判定和性质，旋转的性质，找到点M的运动轨迹是解题的关键． 3．（2021·山西吕梁市·八年级期末）如图， 中， ， ，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是利用含30°的直角三角形的性质找到边与边得关系． 4．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交于点 ，垂足分别为 ，若 ，则 的周长为（ ） A．19 B．28 C．29 D．38 【答案】B 【分析】连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长． 【详解】解：连接BD、DC， ∵AD平分∠ BAC， ，∴DE=DF， ∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF=9， ∵DG垂直平分BC，∴BD=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE=CF， 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 5．（2021·四川乐山市·八年级期末）如图，在 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ， 是 边的中点， 与 交于点 ．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论一定正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据 ，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得 ，判断①正确，然后证明 ，可以判断①正确，根据全等三角形对应边相等可得 ，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC，可以证明 ，根据全等三角形对应边相等可得 ，从而判断④正确，如图，过点G作 于K，利用角平分线的性质可证明 ，根据直角三角形中斜边大于直角边即可证明结论③错误． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4