专题2.7 立体几何与空间向量 - 2021届高三数学三轮复习专题突破（浙江专用）

专题2.7 立体几何与空间向量 1. 立体图形的截面问题 高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查.考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线.一般情况下这两种方法要结合应用. 例1.（2021·全国高三月考（理））已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 点评：1．判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线. 2.本题分别取，，，的中点，，，，线段上靠近的四等分点作出并证明平面即为平面是解题的关键. 例2.（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））如图，正方体的棱长为，点在棱上，，过的平面与平面平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________． 2.三视图 高考对三视图的要求是：（1）理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义；（2）理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画出它们的直观图.从学生反馈情况看，主要错误是不能正确视图，还原几何体.突破这一瓶颈的有效途径，一是熟悉规则，二是多做一些练习. 例3.（2021·全国高三月考（文））在2000年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖的作品，获得“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着入驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为（ ） A． B． C． D． 点评：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 4.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑. 3.常见几何体的面积、体积计算问题 几何体面积或体积的计算，是高考命题的热点，一般说来难度不大，但在解题过程中，出错率较高，主要原因是，公式记忆不清楚，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错；另外，计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求.作为几何体与球的切接问题，要注意合理构建几何模型，探寻元素之间的关系. 例4. （2021·河南高三一模（理））在三棱锥中，，，则该三棱锥的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 点评：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球半径. 例5. 如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________． 点评：对于几何体体积（面积）最值问题，需正确确定几何体中几何元素的关系，建立体积（面积）表达式.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决；当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决；如果具备“一正、二定、三相等”等条件，可应用基本不等式求解. 4.有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个条件中的某一条件的说明. 判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可. 例6.（云南省保山市2019年高三统一检测）如图，在几何体中，平面底面ABC，四边形是正方形，，Q是的中点，且，． 求证