专题2.6 平面解析几何 - 2021届高三数学三轮复习专题突破（浙江专用）

专题2.6 平面解析几何 1．忽视直线斜率不存在的情况而失解 讨论两条直线的位置关系时，首先要注意对斜率是否存在进行讨论，其次要注意对系数是否为零进行讨论．在求解直线方程时，有时也忽略斜率不存在的情况．研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在或斜率为0的情况而导致失解． 例1．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 点评：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现.在设直线方程时，需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解． 例2.（2021·浙江高一期末）已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由． 点评：本题的关键点是利用得 ，转化为坐标运算，需要设直线的方程，点，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去可以应用韦达定理，将，代入即可，当直线的斜率不存在时，可得，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况 2．忽视直线截距为0的情况而失解 求解直线方程时，有时会忽略截距为0的情况． 例3.（2021·全国高二课时练习）过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 点评: 求解直线方程时，如果条件中涉及直线截距，应注意讨论截距全部为零的情况. 3.忽视圆锥曲线定义中的限制条件 在椭圆的定义中要注意椭圆上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之和为一常数，且该常数必须大于两定点的距离”． 对于双曲线则应注意其定义中的“限制条件”. 例4．（山东省聊城市2019届高三一模）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为为左支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 点评：本题利用双曲线的定义，分析得到当且仅当共线，周长取得最小值． 4．离心率范围求解错误 求解离心率的范围是一个热点题型，解题的关键在于根据题设条件，借助几何性质、位置关系等途径找到不等关系，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围．解题时容易忽略椭圆的离心率范围和双曲线的离心率范围． 例5．（2020·河北高二期末）设为椭圆的两个焦点，点P在C上，e为C的离心率.若是等腰直角三角形，则________；若是等腰钝角三角形，则e的取值范围是________. 点评：根据直角所在位置进行讨论，再结合椭圆定义即可求出； 根据钝角所在位置进行讨论，再结合椭圆定义即可求出的取值范围． 例6．（2020·甘肃省岷县第一中学高二期末（理））过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 . 考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程. 5．解决直线与圆锥曲线的相交问题时忽视Δ>0的条件 直线与曲线相交中探求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．这个范围与直线和曲线的位置关系有关时，隐含着Δ>0的条件，不能忽略． 例7．（2021·浙江高三其他模拟）已知是椭圆：的左焦点，经过点作两条互相垂直的直线和，直线与交于点，．当直线经过点时，直线与有且只有一个公共点． （1）求的标准方程； （2）若直线与有两个交点，求的取值范围． 点评：（1）解答直线与圆锥曲线位置关系的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． （3）解决本题第（2）问的关键有：①根据直线，与椭圆的位置关系得到；②利用根与系数的关系和弦长公式得到关于的表达式，然后换元，利用函数的单调性求解范围． 一、选择题 1．（2021·浙江高三月考）在直角坐标系中，已知为坐标原点，.点满足且，则（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】解决本题的关键是由椭圆的定义得出点在椭圆上，再结合斜率公式求出. 2.（2020·六盘山高级中学高二月考（文））平面内有两定点及动点，设命题是常数，命题点P的轨迹是以为焦点的椭圆，那么是的（ ）