专题01 三角形的证明【章节复习专项训练】-2020-2021学年八年级数学下学期期中专项复习（北师大版）

专题01 三角形的证明【章节复习专项训练】 模块一：等腰三角形 例题1．（2021·黑龙江大庆市·期末）等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，则有x+4×2=20， 解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12，∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，则有2x+4=20，解得：x=8， ∵4+8＞8，∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 【变式1】（2020·山东威海市·期末） 为等边三角形，点 为 边上一点，以 为边做等边三角形 ，使点 ， 在直线 的同侧，连接 ，则 的度数为____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到 ， ，通过证明 即可求解． 【详解】解： 和 是等边三角形， ， ， ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（2021·江苏泰州市·期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，若 ，则 ______． 【答案】25° 【分析】由角平分线和平行线的性质证明 ，则 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角 的度数，即可得出结果． 【详解】解：∵BD平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 是等腰三角形，∵ ，∴ ， ∴ ．故答案是： ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 【变式3】（2020·成都市金牛实验中学校月考）已知a，b是等腰 的两边长，且满足 ，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边两种情况讨论求解． 【详解】 ， ， ，解得： ， ， 又 a，b是等腰 的两边长， 当a是腰，b是底时， 三边长分别为：5，5，2， 该等腰三角形的周长为： ， 当 是腰， 是底时， 三边长分别为：2，2，5， ， 不满足三角形三边关系，应舍去． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系，解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式是正确解答本题的关键． 【变式4】（2020·四川省成都市七中育才学校期末）如图，等边三角形 的周长为 ， 、 两点分别从 、 两点同时出发，点 以 的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点 以 的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设 、 两点第一次在三角形 的顶点处相遇的时间为 ，第二次在三角形 顶点处相遇的时间为 ，则 __． 【答案】 【分析】根据相遇问题的数量关系求得 、 两点第一次相遇的时间为 ，以后每相遇一次的时间为 ，设 、 相遇次数为 次，则当 （ 为正整数）时， 、 两点就在三角形 的顶点处相遇，由此关系求得 的两个最小整数，即可得到 的值． 【详解】解： 等边三角形 的周长为 ， EMBED Equation.DSMT4 的边长为 ， 由题意知， 、 第一次时间为 ， 以后每隔 ， 、 就会相遇一次， 设 、 相遇次数为 次， 则当 （ 为正整数）时， 、 两点就在三角形 的顶点处相遇， 整理得： ， EMBED Equation.DSMT4 （ 为正整数）， 当 时，即 时， 、 两点第二次在三角形 的顶点处相遇， 则 ， ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相遇问题，解题的关键是得出 、 相遇次数与三角形边长的关系． 例题2．（2021·湖南常德市·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．则 _______． 【答案】30° 【分析】AB＝AC＝BC＝CD，即可求出∠CAD＝∠D，，进而即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵CD＝AC， ∴∠CAD＝∠D， ∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°， ∴∠CAD＝∠D＝30°， 故答案是：30°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质，是解题的关键． 【变式1】（2021·北京顺义区·八年级期末）如图， 是等边三角形， ， 与 交于点F，则 的度数是__________． 【答案】60° 【分析】先证明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠AC