专题2.5 数列与数学归纳法 - 2021届高三数学三轮复习专题突破（浙江专用）

专题2.5 数列与数学归纳法 1.求数列通项忽视检验首项致错 在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前项和公式，都应该检验首项是否适合 例1.（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）数列的前项和为，且，，．则______；______. 点评：本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式，当时，，一定要验证当时是否满足；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题. 例2.( 2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 点评：由的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时, 不适合的情况要分开写,即 (2)要注意和互化具有双向性,既可由化为,也可由求. 2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略或造成错误 用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略或而造成求解不全导致错误. 例3.已知等差数列满足：，且、、成等比数列. （1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 点评：本题求解第（1）问，在解方程时，容易丢掉这一结果，导致数列的通项公式缺一种结果. 3.应用等差数列与等比数列性质不当 综合应用等差数列、数列等比数列性质时，因记不准性质或性质混用导致错误. 例4.若等差数列满足，则当__________时， 的前项和最大． 点评：等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 4.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误 错位相减法求和是等比数列求和的基本思想，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的式了中等比数列的项数导致求和出错. 例5．（2020·山东高三期中）已知数列的前项和满足且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和，求证． 点评：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．）；②在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式,相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以. 5.周期数列的周期判断失误 有的数列是呈周期性变化的，在求这类数列通项或求和问题时，常因判断不准数列的周期或数列的项数与通项的关系致错. 例5.（2019·合肥一六八中学高一期末）已知数列满足：，，则数列的前项的和_______. 点评：解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．解答此类问题，常因为判断不清数列的周期性或项数出错. 解题关键是确定数列的周期性．方法采取的是从特殊到一般，猜想与证明． 6. 应用数学归纳法忽视推理基础或不应用归纳假设致误 1.数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*) 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2.数学归纳法的框图表示： 3.应用数学归纳法过程中，常见错误有两种，一是忽视递推基础，二是不应用归纳假设，即对数学归纳法两步缺一不可重视不够，或对数学归纳法证明原理理解有误. 例6.（2020·浙江省桐庐中学高三月考）数列满足，，则以下说法正确的个数（ ） ①； ②； ③对任意正数，都存在正整数使得成立； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 点评：本题考查由数列的递推关系确定数列的性质．解题方法一是利用函数的知识求解，二是利用不等式的放缩法进行放缩证明，三与正整数有关的命题也可利用数学归纳法证明．应用数学归纳法要注意： （1）数学归纳法证题时初始值不一定是1. （2）推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法. （3）解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功. 一、选择题