专题2.4 平面向量、复数 - 2021届高三数学三轮复习专题突破 （浙江专用）

专题2.4 平面向量、复数 1.平面向量的概念与运算致误 向量的运算有加、减、数乘及数量积，特别是数量积的运算，由于数量积不满足结合律与消去律，若在计算的过程中不加特别注意，就会出现错误．像零向量、单位向量等概念，要理解到位，注意它们的特点. 例1.（2021·天津滨海新区·高三期末）已知平行四边形的两条对角线相交于点，，，，其中点在线段上且满足，______，若点是线段上的动点，则的最小值为______. 点评：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算的实际应用，解题的关键在于利用二次函数的性质求最值，考查转化思想和运算能力. 2.平面向量夹角的构成、平面向量模与夹角的范围 1.解题过程中要注意，一是对于不谈它与其它向量的夹角问题；二是在三角形中研究向量的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： 但是 ；三是平面向量的夹角范围是.另外不要认为与的夹角为钝角（锐角），即要注意夹角为的特殊情况. 2.求向量的模一般有两种方法，方法一：利用求解；方法二：利用求解.解题过程中问题的转化容易出错，再就是在审题上容易出现错误． 3.求两个向量的夹角一般有两种方法：方法一：；方法二：设=,=，为向量与的夹角，则 例2. （2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________． 点评：求平面向量的模的2种方法： 1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 例3.（2020·浙江高三月考）已知为单位向量，满足，若，则的夹角的最大值是________，在上的投影的最小值为________． 点评：（1）是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式求解时，要先求，这些基本量，再代入公式. 例4.已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足,则的最小值是________. 点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模长公式以及三角函数的应用，“配角”是解题的关键. 以A为原点，平行于CB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出C，B点的坐标，并根据题意设，从而得到的坐标，用表示转化成三角函数问题，即可求得最小值． 例5．已知且.若点C满足,则的取值范围是________． 点评：本题考查平面向量的坐标表示，考查了平面向量的数量积以及原点到圆上点的距离问题，恰当的建立坐标系是解题的关键，考查了运算和推理能力.由可求出夹角，建立平面直角坐标系，再设出A,B的坐标，求得，明确点C在以D为圆心，以1为半径的圆上. 3.平面向量的应用 利用平面向量，可以解决平面几何、解析几何中的垂直、平行、距离及夹角问题，解题过程中通常考虑一是几何法，二是坐标法，应充分利用数形结合思想. 如果已知中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等，可以尝试建立直角坐标系，求向量的数量积.利用坐标法，正确建系是关键，否则易于导致错解． 例6．（2020·河北高三期末（理））已知外接圆半径为1，圆心为，若，则面积的最大值为（ ） A．2 B． C． D．1 点评：本题根据向量的线性运算,可判断出为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值. 对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识. 例7.（2021·江西上饶市·高三一模（理））已知的外心为，，，分别为内角，，的对边，，则的最小值为_______. 点评：本题的关键是利用外心的性质，转化，利用，得，化简向量的数量积. 例8.（浙江省2019届高考模拟卷（二) ）设是抛物线上相异的两点，则的最小值是__ __． 点评：（1）利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.（2）本题已存在坐标系，故只需将向量用坐标表示，进一步研究即可. 4. 复数的概念及其运算 正确理解复数的概念，复数是不能比较大小的，复数的代数形式及其运算，复数的运算性质有些可以类 比实数的运算性质，而有些不能类比，是易错点． 例9.（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数 A． B．1 C． D． 点评：1.复数的运算；2.复数的概念；3.复数的几何意义. 例10.（2020·浙江高三二模）已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________． 点评：1.复数的运算；